Heading: 
UDC: 
517.982.256

Convexity of Bounded Chebyshev Sets in Finite-dimensional Asymmetrically Normed Spaces

Abstract: 

The well-known Tsar’kov’s characterisation of finite-dimensional Banach spaces in which every bounded Chebyshev set (bounded P-acyclic set) is convex is extended to the asymmetrical setting.

References
  1.  Ефимов Н. В., Стечкин С. Б. Некоторые свойства чебышёвских множеств // Докл. АН СССР. 1958. T. 118, № 1. C. 17–19.
  2.  Царьков И. Г. Ограниченные чебышёвские множества в конечномерных банаховых пространствах // Матем. заметки. 1984. T. 36, № 1. C. 73–87.
  3.  Cobzaş S. Functional analysis in asymmetric normed spaces. Basel : Birkhäuser, 2012.
  4.  Ахиезер Н. И., Крейн М. Г. О некоторых вопросах теории моментов. Харьков : ОНТИ, 1938.
  5. Бородин П. А. О выпуклости n-чебышёвских множеств // Изв. РАН. Сер. матем. 2011. T. 75, № 4. C. 19–46. DOI: 10.4213/im4280.
  6.  Бердышев В. И. К вопросу о чебышёвских множествах // Докл. АН АзССР. 1966. T. 22, № 9. C. 3–5.
  7. Brøndsted A. Convex sets and Chebyshev sets II // Math. Scand. 1966. Vol. 18. P. 5–15.
  8. Brown A. L. Chebyshev sets and the shapes of convex bodies // Methods of Functional Analysis in Approximation Theory : Proc. Intern. Conf., Indian Inst. Techn. Bombay, 16–20.XII.1985 / eds. C. A. Micchelli. Bombay, 1986. P. 97–121.
  9. Brown A. L. Chebyshev sets and facial systems of convex sets in finite-dimensional spaces // Proc. Lond. Math. Soc. (3). 1980. Vol. 41. P. 297–339. DOI: 10.1112/plms/s3-41.2.297.
  10.  Власов Л. П. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах // УМН. 1973. T. 28, № 6. C. 3–66.
  11.  Балаганский В. С., Власов Л. П. Проблема выпуклости чебышёвских множеств // УМН. 1996. T. 51, № 6. C. 125–188. DOI: 10.4213/rm1020.
  12.  Царьков И. Г. Компактные и слабо компактные чебышёвские множества в линейных нормированных пространствах // Тр. МИАН СССР. 1989. T. 189. C. 169–184.
  13.  Алимов А. Р. Всякое ли чебышёвское множество выпукло? // Матем. просвещение. Сер. 3. 1998. № 2. C. 155–172.
  14.  Алимов А. Р. О структуре дополнения к чебышёвским множествам // Функц. анализ и его прил. 2001. T. 35, № 3. C. 19–27. DOI: 10.4213/faa255.
  15. Bunt L. N. H. Bijdrage tot de theorie der convexe puntverzamelingen. Thesis. Amsterdam : Univ. Groningen, 1934.
  16.  Карлов М. И., Царьков И. Г. Выпуклость и связность чебышёвских множеств и солнц // Фундам. и прикл. матем. 1997. T. 3, № 4. C. 967–978.
  17.  Klee V. L. A characterization of convex sets // Amer. Math. Monthly. 1949. Vol. 56. P. 247–249. DOI: 10.2307/2304766.
  18.  Klee V. L. Convex bodies and periodic homeomorphisms in Hilbert space // Trans. Amer. Math. Soc. 1953. Vol. 74. P. 10–43. DOI: 10.1090/S0002-9947-1953-0054850-X.
  19.  Madsen I. B., Milgram R. J. The classifying spaces for surgery and cobordism of manifolds. Princeton, NJ : Princeton Univ. Press, 1979.
  20. Dold A. Homology of symmetric products and other functors of complexes // Ann. Math. 1958. Vol. 68, № 1. P. 64–80. DOI: 10.2307/1970043.
  21. Dold A., Thom R. Quasifaserunger und unendliche symmetrische Produkte // Ann. Math. 1958. Vol. 67. P. 239–281. DOI: 10.2307/1970005.
  22. Дранишников А. Н. Абсолютные F-значные ретракты и пространства функций в топологии поточечной сходимости // Сиб. матем. журн. 1986. T. 27, № 3. C. 74–86.
  23. Alimov A. R. A number of connected components of sun’s complement // East J. Approx. 1995. Vol. 1, № 4. P. 419–429.
  24. Brown A. L. Suns in normed linear spaces which are finite-dimensional // Math. Ann. 1987, Vol. 279. P. 87–101. DOI: 10.1007/BF01456192.
  25. Brown A. L. Suns in polyhedral spaces // Seminar of Mathem. Analysis : Proc. / eds. D. G. Álvarez, G. Lopez Acedo, R. V. Caro, Univ. Malaga and Seville (Spain), Sept. 2002 – Feb. 2003. Sevilla : Universidad de Sevilla, 2003. P. 139–146.
  26. Алимов А. Р. Монотонная линейная связность и солнечность связных по Менгеру множеств в банаховых пространствах // Изв. РАН. Сер. математическая. 2014. T. 78, № 4. С. 3–18. DOI: 10.4213/im8128.
Full text: