Heading: 
UDC: 
539.374
Language: 
English

Cross-Coupled Type-III Thermoelastic Waves of a Given Azimuthal Number in a Waveguide under Sidewall Heat Interchanging

Abstract: 

The paper is devoted to a study of cross-coupled type-III generalized thermoelastic waves of a given azimuthal order propagating via a long cylindrical waveguide with circular cross-section. Sidewall of the waveguide is assumed free from tractions and permeable to heat. The study is carried out in the framework of coupled generalized theory of type-III thermoelasticity (GNIII) consistent with the fundamental principles of continuum thermomechanics. The type-III theory combines the both possible mechanisms of heat transfer: thermodiffusion and wave. Type-III generalized thermoelasticity includes classical thermoelasticity (GNI/CTE) and the theory of hyperbolic thermoelasticity (GNII) as limiting cases.The GNII-theory can be formulated as a field theory and differential field equations are of hyperbolic analytical type. Closed solution of the coupled linear GNIII-thermoelasticity partial differential equations satisfying the required boundary conditions on the surface of waveguide including convective heat interchanging condition is obtained by the separation of variables technique. For a given azimuthal number the frequency equation is derived. A numerical analysis of frequency equation is carried out by Mathematica. A scheme of frequency equation roots localization is proposed and wavenumbers of the coupled type-III thermoelastic waves of the first and seventh azimuthal numbers are computed. A numerical study of the coupled thermoelastic waves of the 70th azimutal number is also presented. Some aspects of numerical realization of the proposed approach are discussed.

References

1. Ковалев В. А., Радаев Ю. Н. Волновые задачи теории поля и термомеханика. Саратов, 2010. 328 с.
2. Ковалев В. А., Радаев Ю. Н. Элементы теории поля : вариационные симметрии и геометрические инварианты. М., 2009. 156 с.
3. Ковалев В. А., Радаев Ю. Н. Волновые задачи теории поля и термомеханика // Математическая физика и ее приложения : материалы второй междунар. конф. (под ред. чл.-корр. РАН И. В. Воловича и проф. Ю. Н. Радаева). Самара, 2010. С. 165–166.
4. Duhamel J. Second Memoire sur les Phenomenes  ́ Thermo-Mecanique // J. de L’Ecole Polytech. 1837.  ́ Vol. 15. P. 1–57; Duhamel J. Memoire sur le Calcul des  ́ Actions Moleculaires D  ́ evelopp  ́ ees par les Changements  ́ de Temperature dans les Corps Solides // M  ́ emoirs  ́ par Divers Savants. A l’Acad. Roy. des Sci. de l’Inst. de France. 1838. Vol. 5. P. 440–498; Neumann F. Vorlesungen uber die Theorie der Elasticit  ̈ at der festen  ̈ Korper und des Licht  ̈ athers. Breslau, 1885.  ̈
5. Лебедев Н. Н. Температурные напряжения в теории упругости. М.; Л., 1937. 110 c.
6. Maxwell J. C. On the Dynamical Theory of Gases // Phil. Trans. Royal Soc. Lond. 1867. Vol. 157. P. 49–88.

7. Biot M. A. Thermoelasticity and irreversible thermodynamics // J. Appl. Phys. 1956. Vol. 27(3). P. 240–253.

8. Joseph D. D., Preziozi L. Heat waves // Rev. Modern Physics. 1989. Vol. 61, No 1. P. 41–73; Joseph D.D., Preziozi L. Addendum to the paper «Heat waves» // Rev. Modern Physics. 1990. Vol. 62, No 2. P. 375–391.

9. McNelly T. F., Rogers S. J., Channin D. J., Rollefson R. J., Goubau W. M., Schmidt G. E., Krumhansl J. A., Pohl R. O. Heat pulses in NaF: Onset of second sound // Phys. Rev. 1970. Vol. 24(3). P. 100–102.
10. Jackson H. E., Walker C. T., McNelly T. F. Second sound in NaF // Phys. Rev. Letters. 1970. Vol. 25(1). P. 26–28.
11. Rogers S. J. Transport of heat and approach to second sound in some isotopically pure Alkali-Halide crystals // Phys. Rev. B. 1971. Vol. 3(4). P. 1440–1457.
12. Pohl D. W., Irniger V. Observation of second sound in NaF by means of light scattering // Phys. Rev. Letters. 1976. Vol. 36(9). P. 480–483.
13. Hardy R. J., Jaswal S. S. Velocity of second sound in NaF // Phys. Rev. B. 1971. Vol. 3(12). P. 4385–4387.
14. Narayanamurti V., Dynes R. C. Observation of second sound in Bismuth // Phys. Rev. Letters. 1972. Vol. 28. P. 1461–1464.
15. Lord H., Shulman Y. A generalized dynamical theory of thermoelasticity // J. Mech. Phys. Solid. 1967. Vol. 15. P. 299–309.
16. Cattaneo C. Sur une forme de l’equation de la chaleur  ́ eliminant le paradoxe d’une propagation instantan  ́ ee //  ́ J. of Comptes-Rendus Hebdomadaires des Seances de\ l’Academie des Sciences. 1958. Vol. 247. P. 431–433.  ́
17. Vernotte P. Les paradoxes de la theorie continue  ́ de l’equation de la chaleur // J. of Comptes-Rendus  ́ Hebdomadaires des Seances de l’Academie des Sciences.  ́ 1958. Vol. 246. P. 3154–3155.
18. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М., 1967. 600 c.

19. Green A. E., Lindsay K. A. Thermoelasticity // J. Elasticity. 1972. Vol. 2. P. 1–7.
20. Green A. E., Naghdi P. M. On undamped heat waves in an elastic solid // J. Thermal Stresses. 1992. Vol. 15. P. 253–264.
21. Green A. E., Naghdi P. M. Thermoelasticity without energy dissipation // J. Elasticity. 1993. Vol. 31. P. 189– 208.
22. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М., 1970. 256 c.
23. Maugin G. A. Towards an analytical mechanics of dissipative materials // Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino. 2000. Vol. 58, No 2. Geom., Cont. and Micros., II. P. 171–180.
24. Maugin G. A., Kalpakides V. K. The slow march towards an analytical mechanics of dissipative materials // Technische Mechanik. 2002. B. 22, H. 2. S. 98–103.
25. Maugin G. A., Kalpakides V. K. A Hamiltonian formulation for elasticity and thermoelasticity // J. Phys. A: Math. Gen. 2002. Vol. 35. P. 10775–10788.

26. Kalpakides V. K., Maugin G. A. Canonical formulation and conservation laws of thermoelasticity // Reports in Mathematical Physics. 2004. Vol. 53. P. 371–391.
27. Puri P., Jordan P. M. On the propagation of plane waves in type-III thermoelastic media // Proc. Royal Soc. Lond. A. 2004. Vol. 460. P. 3203—3221.
28. Ковалев В. А., Радаев Ю. Н. Волновые числа плоских GNIII-термоупругих волн и неравенства, обеспечивающие их нормальность // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2010. Т. 10. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3. С. 46–53.

29. Dhaliwal R. S., Majumdar S. R., Wang J. Thermoelastic waves in an infinite solid caused by a line heat source // Intern. J. Math. & Math. Sci. 1997. Vol. 20, No 2. P. 323–334.
30. Ковалев В. А., Радаев Ю. Н. Распространение связанных гармонических GNIII-термоупругих волн в длинном цилиндрическом волноводе // Вестн. Чувашского гос. пед. у-та им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния. 2010. No 2(8), ч. 2. С. 207–255.
31. Ковалев В. А., Радаев Ю. Н., Романов А. Е. Прохождение теплового GNIII-волнового сигнала с высокой окружной гармоникой через цилиндрический волновод //Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики : сб. тр. междунар. конф., посвящ. 80-летию д-ра физ.-мат. наук, проф. Д. Д. Ивлева. Воронеж, 2010. С. 173–180.

Full text: