Образец для цитирования:

Акниев Г. Г. Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье для некоторых кусочно-линейных функций . //Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика, 2018 Т. 18, вып. 1. С. 4-16. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2018-18-1-4-16


Рубрика: 
УДК: 
517.521.2
Язык публикации: 
русский

Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье для некоторых кусочно-линейных функций

Аннотация: 

Для заданного натурального числа N > 2 на отрезке [0,2π] выбрано N равноотстоящих узлов  t_k = 2πk/N (0 < k < N − 1) Для каждого натурального числа  n, удовлетворяющего неравенству 1 < n < ⌊N/2⌋, обозначим через  L_ n,N (f) = L _n,N (f,x) тригонометрический полином порядка n наименьшего квадратического отклонения от функции f в точках tk, который доставляет минимум сумме среди всех тригонометрических полиномов Tn порядка n. Рассмотрена задача о приближении кусочно-линейных периодических функций полиномами N L n,N (f,x). На конкретных примерах показано, что полиномы L n,N (f,x) приближают кусочно-линейную непрерывную периодическую функцию со скоростью O(1/n) равномерно относительно  x ∈ R и 1 < n < N/2, а также приближают такую функцию f(x) со скоростью  O(1/n^2 ) вне сколь угодно малых окрестностей, содержащих точки <<излома>> рассматриваемой ломаной f(x). Кроме того, на примерах показано, что полиномы L n,N (f,x) приближают кусочно-линейную разрывную функцию со скоростью O(1/n) вне сколь угодно малых окрестностей, сожержащих точки разрыва f(x). Особое внимание уделено приближению полиномами L n,N (f,x) 2π-периодических функций f_1 и f_2 , которые на отрезке [−π,π] совпадают с функциями |x| и sign x соответственно. Для первой из этих функций показано, что вместо оценки |f 1 (x) − L n,N (f 1 ,x)| < cln n/n, вытекающей из известного неравенства Лебега для полиномов  L n,N (f,x), установлена точная по порядку оценка |f 1 (x) − L n,N (f 1 ,x)| < c/n (x ∈ R), которая имеет место равномерно относительно  1 < n < ⌊N/2⌋. Кроме того, получена локальная оценка  |f_1 (x) − L n,N (f_1 ,x)| < c(ε)/n^2 (|x − πk| > ε), которая также имеет место равномерно относительно 1 < n < ⌊N/2⌋. Что касается второй из указанных функций  f_2 (x), то для нее равномерно относительно  1 < n < ⌊N/2⌋ получена оценка |f_2 (x) − L n,N (f_2 ,x)| < c(ε)/n (|x − πk| > ε). Доказательства полученых оценок базируются на сравнении аппроксимативных свойств дискретных и непрерывных тригонометрических сумм Фурье.

Библиографический список

1.Sharapudinov I. I. On the best approximation and polynomials of the least quadratic deviation // Analysis Math. 1983. Vol. 9, iss. 3. P. 223–234. DOI: 10.1007/BF01989807.
2. Бернштейн С. Н. О тригонометрическом интерполировании по способу наименьших квадратов // Докл. АН СССР. 1934. Т. 4, № 1. С. 1–5.
3. Erdös P. Some theorems and remarks on interpolation // Acta Sci. Math. (Szeged). 1950. Vol. 12. P. 11–17.
4. Калашников М. Д. О полиномах наилучшего (квадратического) приближения в заданной системе точек // Докл. АН СССР. 1955. Т. 105. С. 634–636.
5. Крылов В. И. Сходимость алгебраического интерполирования по корням многочлена Чебышева для абсолютно непрерывных фунций и функций с ограниченным изменением // Докл. АН СССР. 1956. Т. 107. С. 362–365.
6. Marcinkiewicz J. Quelques remarques sur l’interpolation // Acta Sci. Math. (Szeged). 1936. Vol. 8. P. 127–130.
7. Marcinkiewicz J. Sur la divergence des polynômes d’interpolation // Acta Sci. Math. (Szeged). 1936. Vol. 8. P. 131–135.
8. Natanson I. P. On the convergence of trigonometrical interpolation at equidistant knots // Ann. of Math. 1944. Vol. 45. P. 457–471.
9. Никольский С. М. О некоторых методах приближения тригонометрическими суммами // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1940. Т. 4, вып. 6. С. 509–520.
10. Турецкий А. Х. Теория интерполирования в задачах. Минск : Высш. шк., 1968. 320 с.
11. Зигмунд А. Тригонометрические ряды : в 2 т. Т. 1. М. : Мир, 1965. 616 с.

12. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : в 3 т. Т. 3. М. : ФИЗМАТЛИТ, 1969. 656 с.
13. Магомед-Касумов М. Г. Аппроксимативные свойства средних Валле Пуссена для кусочно гладких функций // Матем. заметки. Т. 100, вып. 2. С. 229–247. DOI:10.4213/mzm10588.

Краткое содержание (на английском языке): 
Полный текст в формате PDF: