Образец для цитирования:

Галаев А. С. Классификация продолженных би-метрических структур на распределениях ненулевой кривизны субримановых многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2018. Т. 18, вып. 3. С. 263-273. DOI: https://doi.org/https://doi.org/10.18500/1816-9791-2018-18-3-263-273


Рубрика: 
УДК: 
514.76
Язык публикации: 
русский

Классификация продолженных би-метрических структур на распределениях ненулевой кривизны субримановых многообразий

Аннотация: 

Вводится понятие внутренней геометрии субриманова многообразия M, под которой понимается
совокупность тех свойств многообразия, которые зависят только от оснащения D ⊥ распределения D субриманова многообразия, а также от параллельного перенесения векторов, принадлежащих распределению D, вдоль кривых, касающихся этого распределения. Инвариантами внутренней
геометрии субриманова многообразия M являются: тензор кривизны Схоутена; 1-форма η, порождающая распределение D; производная Ли L ~
ξ g метрического тензора g вдоль векторного поля ~ξ; тензорное поле P, компоненты которого в адаптированных координатах выражаются с помощью
равенств P c ad = ∂ n Γ c ad . В зависимости от свойств перечисленных выше инвариантов выделяются
12 классов субримановых многообразий. С помощью внутренней связности, заданной на субримановом многообразии M, на распределении D многообразия M определяется почти контактная структура с би-метрикой, названная в работе продолженной структурой. Проводится сравнительный
анализ двух классификаций продолженных структур. В соответствии с первой классификацией выделяется 12 классов продолженных структур, соответствующих 12 классам исходных субримановых многообразий. Вторая классификация основана на свойствах фундаментального, ассоциированного
с би-метрической структурой, тензора F типа (0,3). В соответствии со второй классификацией существуют 2 11 классов би-метрических структур, среди которых 11 базисных классов F i , i = 1,...,11. В статье рассматривается случай субриманова многообразия с ненулевым тензором кривизны Схо-
утена и равной нулю производной Ли L ~ ξ g. Доказывается, что продолженные почти контактные
би-метрические структуры, соответствующие субримановым структурам, с равным нулю инвариантом
ω = dη принадлежат классу F 1 ⊕ F 2 ⊕ F 3 , а с отличным от нуля инвариантом ω = dη — классу
F 1 ⊕ F 2 ⊕ F 3 ⊕ F 7 ⊕ ··· ⊕ F 10 .

Библиографический список

1. Ganchev G., Mihova V., Gribachev K. Almost contact manifolds with B-metric // Math. Balkanica (N.S.). 1993. Vol. 7, fasc. 3–4. P. 261–276.
2. Manev M. Tangent bundles with Sasaki metric and almost hypercomplex pseudo-Hermitian structure // Topics in Almost Hermitian Geometry and Related Fields. 2005. P. 170–185. DOI: https://doi.org/10.1142/9789812701701_0013
3. Manev M. Tangent bundles with complete lift of the base metric and almost hypercomplex Hermitian-Norden structure // Compt. rend. Acad. bulg. Sci. 2014. Vol. 67, № 3. P. 313–322. arXiv:1309.0977v1 [math.DG].
4. Букушева А. В. О геометрии контактных метрических пространств с ϕ-связностью // Науч. ведомости Белгород. гос. ун-та. Сер. Математика. Физика. 2015. № 17(214), вып. 40. С. 20–24.
5. Букушева А. В., Галаев С. В. Связности над распределением и геодезические пульве-
ризации // Изв. вузов. Матем. 2013. № 4. С. 10–18.
6. Букушева А. В., Галаев С. В. Почти контактные метрические структуры, определяемые связностью над распределением с допустимой финслеровой метрикой // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 3. С. 17–22.
7. Галаев С. В. О классификации продолженных Би-метрических структур на субримановых многообразиях с нулевым тензором кривизны Схоутена // Вестн. Башкир. ун-та. 2017. Т. 22, № 4. С. 936–939.
8. Bukusheva A. V., Galaev S. V. Almost contact metric structures defined by connection over distribution // Bulletin of the Transilvania University of Brasov. Ser. III: Mathematics, Informatics, Physics. 2011. Vol. 4 (53), № 2. P. 13–22.
9. Галаев С. В. Гладкие распределения с допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой
структурой // Вестн. Башкир. ун-та. 2016. Т. 21, № 3. С. 551–555.
10. Букушева А. В. Слоения на распределениях с финслеровой метрикой // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 3. С. 247–251.
11. Галаев С. В. О распределениях со специальной квази-сасакиевой структурой // Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2017, № 2 (39). С. 6–17. DOI:
https://doi.org/10.15688/jvolsu1.2017.2.1
12. Вершик A. M., Гершкович В. Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи // Динамические системы–7. Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М. : ВИНИТИ, 1987. Т. 16. C. 5–85.
13. Вершик A. M., Фаддеев Л. Д. Лагранжева механика в инвариантном изложении // Проблемы теоретической физики. Т. 2. Теория ядра. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистической физике. Математическая физика. Л. : Изд-во ЛГУ,
1975. С. 129–141.
14. Гладуш В. Д. Пятимерная общая теория относительности и теория Калуцы–Клейна // ТМФ. 2003. Т. 136, № 3. С. 480–495. DOI: https://doi.org/10.4213/tmf231
15. Манин Ю. И. Калибровочные поля и комплексная геометрия. М. : Наука, 1984. 336 с.
16. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds II // Tohoku Math. J. 1962. № 14. P. 146–155.
17. Yano K., Ishihara S. Tangent and cotangent bundles: differential geometry. N.Y. : Marcel Dekker, Inc., 1973. 423 p.
18. Вагнер В. В. Геометрия (n − 1)-мерного неголономного многообразия в n-мерном пространстве // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1941. Вып. 5. С. 173–255.

19. Blair D. E. Contact manifolds in Riemannian geometry. Berlin ; N.Y. : Springer-Verlag,
1976. 146 p.

Краткое содержание (на английском языке): 
Полный текст в формате PDF: