Образец для цитирования:

Мокроусов И. С. Критерий принадлежности классу Wp^1 обобщенного из класса Lp решения волнового уравнения // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2018. Т. 18, вып. 3. С. 297-304. DOI: https://doi.org/ https://doi.org/10.18500/1816-9791-2018-18-3-297-304


Рубрика: 
УДК: 
517.956.32
Язык публикации: 
русский

Критерий принадлежности классу Wp^1 обобщенного из класса Lp решения волнового уравнения

Аннотация: 

В статье исследуется вопрос принадлежности обобщенного решения волнового уравнения различным функциональным пространствам. Рассмотрение классических решений накладывает существенные ограничения на исходные данные задачи. Но если исходить не из дифференциальных, а из инте-
гральных уравнений,то класс решений, а значит, и класс исходных краевых задач, можно существенно расширить. Для решения краевой задачи для волнового уравнения,полученного методом учета волн, легко получить достаточное условие принадлежности тому или иному классу. Гораздо более тонкий
вопрос представляет нахождение необходимого и достаточного условия. В статье устанавливается критерий принадлежности классу W l
p обобщенного из класса L p решения волнового уравнения. Критерий связывает между собой условие на граничную функцию µ(t) и условие на решение за-
дачи u tt (x,t) − u xx (x,t) = 0. Таким образом, данный критерий может быть применим к оценкам задач управления, в частности по финальному условию задачи можно установить принадлежность функции управления. Данный критерий также применим к оценкам задач наблюдения для волнового уравнения, когда по свойствам граничной функции можно предугадывать свойства решения. Эта статья состоит из постановки задачи, рассмотрения раннее полученных результатов, формулировки и доказательства основной теоремы. Доказательство основной теоремы существенно опирается на
представление решения указанной задачи в явно маналитическом виде. Этот результат обобщает ранее полученный критерий принадлежности для W 1
p .Стоитотметить,чтохотядоказательствокритерия для класса W lp структурно повторяет доказательство для класса W 1 p , оно существенно осложнено
более тонкими оценками норм функций, входящих в решение задачи.

Библиографический список

1. Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений // УМН. 1960. Т. 15, № 2. С. 97–154.
2. Ильин В. А., Кулешов А. А. О некоторых свойствах обобщенных решений волнового уравнения из классов L p и W 1 p при p > 1 // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 11. C. 1493–1500.
3. Моисеев Е. И., Холомеева А. А. О разрешимости смешанных задач для уравнения колебаний струны в пространстве W 1
p ,p > 1 // Докл. АН. 2011. Т. 441, № 3. С. 310–312.
4. Ильин В. А., Кулешов А. А. Об эквивалентности двух определений обобщенного из класса l p решения смешанной задачи для волнового уравнения // Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 2014. Т. 284. С. 163–168.
5. Ильин В. А., Кулешов А. А. Необходимые и достаточные условия принадлежности классу W 1
p при p > 1 обобщенного решения смешанной задачи для волнового уравнения // Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 2013. Т. 283. С. 115–120.
6. Моисеев Е. И., Тихомиров В. В. О волновом процессе с конечной энергией при заданном граничном режиме на одном конце и упругом закреплении на другом конце // Нелинейная динамика и управление. М. : Физматлит, 2007. Вып. 5. С. 141–148.
7. Хромов А. П., Бурлуцкая М. Ш. Классическое решение методом Фурье смешанных задач при минимальных требованиях на исходные данные // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 2. С. 171–198.
8. Хромов А. П. О классическом решении одной смешанной задачи для волнового уравнения // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 1. С. 56–66. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2015-15-1-56-66
9. Ильин В. А., Кулешов А. А. Критерий принадлежности классу W 1p обобщенного из класса L p решения волнового уравнения // Докл. АН. 2012. Т. 447, № 1. С. 15–17.
10. Ильин В. А., Кулешов А. А. Обобщенные решения волнового уравнения из классов L p и W 1p при p > 1 // Докл. АН. 2012. Т. 446, № 4. C. 374–377.
11. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М. : Наука, 1972.736 с.
12. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М. : Наука, 1981. 512 с.
13. Садовничий В. А. Теория операторов. М. : Дрофа, 2004. 381 с.
14. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М. : Наука, 1969. 528 с.
15. Стеклов В. А. Основные задачи математической физики. М. : Наука, 1983. 432 с.
16. Ладыженская О. А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М. : Гостех-издат, 1953. 282 с.
17. Ильин В. А. Избранные труды : в 2 т. М. : Изд-во ООО «Макс-пресс», 2008. Т. 1. 727 с.

Краткое содержание (на английском языке): 
Полный текст в формате PDF: