Рубрика: 
УДК: 
517.518
Язык публикации: 
русский

ОБОБЩЕННАЯ АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ ФУНКЦИЙ ОБОБЩЕННОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ

Аннотация: 

А. Зигмунд доказал, что 2π-периодическая функция ограниченной вариации из любого класса Липшица Lip(α) имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье. Этот результат был распространен на многие классы функций обобщенной ограниченной вариации (например, на функции ограниченной p-вариации Жордана–Винера, функции ограниченной Λ-вариации, введенные Д. Ватерманом и др.) и на различные пространства, определяемые модулями непрерывности. Мы изучаем сходимость рядов ∞ P k=1 γ k | ˆ f(k)| β , где {γ k } ∞ k=1 является последовательностью из подходящего класса Гоголадзе–Месхиа, а { ˆ f(k)} ∞ k=0 — коэффициенты Фурье f ∈ L 1 [0,1) по мультипликативной системе. Достаточные условия сходимости таких рядов получаются в предположении ограниченности обобщенной вариации, задаваемой числом p > 1 и последовательностью Λ, и в терминах равномерных или интегральных модулей непрерывности. Используя флуктуацию (т.е. осцилляции функции рассмтриваются только по отношению к узкому классу разбиений и их интервалов) вместо вариации, мы получаем более общие утверждения. Результаты данной статьи дают аналоги некоторых теорем Р. Г. Вьяса, касающихся тригонометрических рядов или рядов Уолша, или обобщают их.

DOI: 
10.18500/1816-9791-2017-17-3-304-312
Библиографический список

1. Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша : Теория и применения. М. : Наука, 1987. 344 с.
2. Waterman D. On the summability of Fourier series of functions of Λ-bounded variation // Studia math. 1976. Vol. 55, № 1. P. 87–95.
3. Shiba M. On absolute convergence of Fourier series of functions of class ΛBV (p) // Sci. Rep. Fukushima Univ. 1980. Vol. 30. P. 7–10.
4. Kita H., Yoneda K. A generalization of bounded variation // Acta Math. Hung. 1990. Vol. 56, № 3–4. P. 229–238. DOI: 10.1007/BF01903837.
5. Gogoladze L., Meskhia R. On the absolute convergence of trigonometric Fourier series // Proc. Razmadze Math. Inst. 2006. Vol. 141. P. 29–40.
6. Ульянов П. Л. О рядах по системе Хаара с монотонными коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1964. Т. 28, № 4. С. 925–950.
7. Moricz F. Absolute covergence of Walsh–Fourier series and related results // Analysis Math. 2010. Vol. 36, № 4. P. 275–286. DOI: 10.1007/s10476-010-0402-z.
8. Golubov B. I, Volosivets S. S. Generalized absolute convergence of single and double Fourier series with respect to multiplicative systems // Analysis Math. 2012. Vol. 38, № 2. P. 105–122. DOI: 10.1007/s10476-012-0202-8.
9. Vyas R. G. Generalized absolute convergence of trigonometric Fourier series // Modern Mathematical Methods and High Performance Computing in Science and Technology. Springer Proc. in Mathematics and Statistics. 2016. Vol. 171. P. 231–237. DOI 10.1007/978-981-10-1454-3_19.

10. Vyas R. G. Absolute convergence of Walsh–Fourier series // Annales Univ. Sci. Budapest. Sect. Math. 2013. Vol. 56. P. 71–77.

Полный текст в формате PDF: