Образец для цитирования:

Голубков А. А. Обратная задача для операторов Штурма–Лиувилля в комплексной плоскости // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2018. Т. 18, вып. 2. С. 144-156. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2018-18-2-144-156


Рубрика: 
УДК: 
517.984
Язык публикации: 
русский

Обратная задача для операторов Штурма–Лиувилля в комплексной плоскости

Аннотация: 
Впервые изучена обратная задача для стандартно го уравнения Штурма – Лиувилля со спектральным параметром ρ и потенциалом, кусочно-целым на спрямляемой кривой γ ⊂ C, у которой задана только начальная точка. Ограниченная на кривой γ функция Q является кусочно-целой на ней, если γ можно разбить конечным числом точек на участки, на которых Q совпадает с целыми функциями, ра зличными на соседних участках. Точки разбиения, начальная и конечная точки кривой называются критическими точками. Ставится задача нахождения всех критических точек γ и потенциала на ней по столбцу или строке передаточной матрицы ˆP вдоль γ. На основе полученной асимптотикиˆP при |ρ| → ∞ доказано, что если хотя бы один её элемент ограничен при любых ρ ∈ C, то γ после удаления всех «невидимых петель» вырождается в точку («невидимая петля»–- такая петля кривой γ с заданной кусочно-целой функцией, узел которой совпадает с двумя последовательными критическими точками). В статье доказана единственность решения поставленной обратной задачи для кривых без «невидимых петель». На примере обратной задачи для уравнения ddx³1r(x)dydx´+¡q(x) − r(x)λ2¢y(x) = 0 с кусочно-целым потенциалом q(x) и кусочно-постоянной функцией r(x) 6= 0 на отрезке действительной оси показана полезность полученных результатов при исследовании обратных задач для обобщенных уравнений Штурма – Лиувилля, приводимых к изученному в статье типу.
Библиографический список
1. Марченко В. А. Операторы Штурма – Лиувилля и их приложения. Киев : Наук. думка, 1977. 331 c.
2. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма – Лиувилля. М. : Наука, 1984. 240 c.
3. Yurko V. A. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory. Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht : VSP, 2002. 316 p.
4. Голубков А. А., Макаров В. А. Обратная спектральная задача для обобщенного уравнения Штурма – Лиувилля с комплекснозначными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 10. С. 1498–1502.
5. Голубков А. А., Макаров В. А. Восстановление координатной зависимости тензора диэлектрической проницаемости диагонального вида одномерно-неоднородной среды // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2010. № 3. С. 32–36.
6. Ангелуц А. А., Голубков А. А., Макаров В. А., Шкуринов А. П. Восстановление спектра диэлектрической проницаемости однородной среды в терагерцовом диапазоне частот по измерениям угловых зависимостей коэффициентов пропускания плоскопараллельной пластины // Письма в ЖЭТФ. 2011. Т. 93, № 4. С. 209–212.
7. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма – Лиувилля и Дирака. М. : Наука, 1988. 432 с.
8. Ишкин Х. К. О необходимых условиях локализации спектра задачи Штурма—Лиувилля на кривой // Матем. заметки. 2005. Т. 78, № 1. С. 72–84. DOI : 10.4213/mzm2563
9. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М. : Наука, 1983. 352 с.
10. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М. : Изд-во иностр. лит., 1958. 475 с.
11. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М. : Мир, 1968. 465 с.
12. Ишкин Х. К. Критерий локализации спектра оператора Штурма — Лиувилля на кривой // Алгебра и анализ. 2016. Т. 28, № 1. С. 52–88.
13. Ишкин Х. К. О критерии однозначности решений уравнения Штурма Лиувилля // . заметки. 2008. Т. 84, 4. С. 552–566. DOI 10.4213/mzm4173 
14. Ишкин Х. К. О критерии безмонодромности уравнения Штурма Лиувилля // Матем. заметки. 2013. Т. 94, 4. С. 552–568. DOI : 10.4213/mzm10319
Краткое содержание (на английском языке): 
Полный текст в формате PDF: