Рубрика: 
УДК: 
517.518
Язык публикации: 
английский

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ p-ВАРИАЦИИ СРЕДНИМИ ЭЙЛЕРА

Аннотация: 

В настоящей статье мы изучаем средние Эйлера:
eqn(f)(x) =∑k=0n(nk)qn−k(1 + q)−nSk(f)(x), q > 0, n ∈ Z+,

где Sk(f) есть k-я частичная сумма тригонометрического ряда Фурье. Для p-абсолютно непрерывных функций (f ∈ Cp, 1 < p < ∞) мы рассматриваем их приближения средними Эйлера в равномерной и Cp-метрике в терминах модулей непрерывности ωk(f)Cp,k ∈ N, и наилучших приближений тригонометрическими полиномами En(f)Cp. Можно отметить следующее неравенство разных метрик из теоремы 2:
||f - eqn(f)||<C1j=0n(1+q)-n(n j)qn−jEj(f)Cp, n ∈ N, которое является точным. Доказано также следующее обобщение результата Ч. Чуи и А. Холланда.

Если ω является модулем непрерывности на [0,π],таким что δ ∫πδ t−2ω(t)dt = O(ω(δ)),1 < p < ∞ и f ∈ Cp удовлетворяет двум свойствам:1) ω2(f,t)Cp < Cω(t); 2)∫π2π/(n+1) t−1||ϕx(t)−ϕx(t+2π/(n+1))||Cp dt = O(ω(1/n)), где ϕx(t) = f(x+t)+f(x−t)−2f(x), то ||e1n(f)−f||Cp < Cω(1/n), n ∈ N. Даны также некоторые приложения к приближениям в метриках типа Гёльдера.

 

DOI: 
10.18500/1816-9791-2015-15-3-300-309
Библиографический список
  1. Терехин А. П. Приближение функций ограниченной p-вариации // Изв. вузов. Математика. 1965. № 2. С. 171–187.
  2. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. мат. о-ва. 1956. Т. 5. С. 483–522.
  3. Харди Г. Расходящиеся ряды. М. : Изд-во иностр. лит., 1951. 504 с.
  4. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М. : Физматгиз, 1960. 624 с.
  5. Голубов Б. И. О наилучшем приближении p-абсолютно непрерывных функций // Некоторые вопросы теории функций и функционального анализа. Т. 4. Тбилиси : Изд-во Тбил. ун-та, 1988. С. 85–99.
  6. Зигмунд А. Тригонометрические ряды : в 2 т. Т. 1. М. : Мир, 1965. 616 с.
  7. Volosivets S. S. Convergence of series of Fourier coefficients of p-absolutely continuous functions // Analysis Math. 2000. Vol. 26, № 1. P. 63–80.
  8. Тюленева А. А. Приближение периодических функций ограниченной p-вариации обобщенными средними Абеля–Пуассона и логарифмическими средними // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 4, ч. 1. С. 25–32.
  9. Chui C. K., Holland A. S. B. On the order of approximation by Euler and Borel means // J. Approxim. Theory. 1983. Vol. 39, № 1. P. 24–38.
  10. Rempulska l., Tomczak K. On Euler and Borel means of Fourier series in H¨older spases // Proc. of A. Razmadze Math. Institute. 2006. Vol. 140. P. 141–153.

 

Полный текст в формате PDF: