Рубрика: 
УДК: 
517.54

Интегралы уравнения Левнера со степенной управляющей функцией

Аннотация: 
Рассматривается качественное локальное поведение траекторий обыкновенного дифференциального уравнения Левнера с управляющей функцией, обратной к степенной функции, с целым показателем степени. Выделены все особые точки и соответствующие им сингулярные решения. Показано, что эта управляющая функция порождает решения уравнения Левнера, которые представляют собой отображения полуплоскости с гладким разрезом на верхнюю полуплоскость. Найдено асимптотическое соотношение между гармоническими мерами сторон разреза.
Библиографический список
1. L¨owner K. Untersuchungen ¨uber schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises // I. Math. Ann. 1923. Vol. 89, № 1–2. P. 103–121.
2. Markina I., Vasil’ev A. Virasoro algebra and dynamics in the space of univalent functions // Contemp. Math. 2010. Vol. 525. P. 85–116.
3. Александров И. А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М. : Наука, 1976. 344 c.
4. Lind J., Marshall D. E., Rohde S. Collisions and spirals of Loewner traces // Duke Math. J. 2010. Vol. 154, № 3. P. 527—573. DOI:10.1215/00127094-2010-045.
5. Куфарев П. П. Одно замечание об интегралах уравнения Лёвнера // Докл. АН СССР. 1947. Т. 57, № 7. С. 655–656.
6. Kager W., Nienhuis B., Kadanoff L. P. Exact solutions for Loewner evolutions // J. Statist. Phys. 2004. Vol. 115, № 3–4. P. 805–822.
7. Прохоров Д. В., Захаров А. М. Интегрируемость частного вида уравнения Лёвнера // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2010. Т. 10, вып. 2. C. 19–23.
8. Marshall D. E., Rohde S. The Loewner differential equation and slit mappings // J. Amer. Math. Soc. 2005. Vol. 18, № 4. P. 763–778.
9. Prokhorov D., Vasil’ev A. Singular and tangent slit solutions to the L¨owner equation // Analysis and Mathematical Physics / eds. B. Gustafsson, A. Vasil’ev. Berlin : Birkhauser, 2009. P. 455—463.
10. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения : в 2 т. М. : Иностр. лит., 1954. Т. 2. 414 c.
11. Poincare´ H. Sur les courbes de´finies par une e´quation diff´erentielle // J. Math. Pures Appl. 1886. Vol. 4, № 2. P. 151–217.
12. Bendixson I. Sur les courbes d´efinies par les ´equations diff´erentielles // Acta Math. 1901. Vol. 24. P. 1–88.
13. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.; Л. : Гостехиздат, 1950. 398 c.
14. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения : в 2 т. М. : Иностр. лит., 1953. Т. 1. 346 c.
15. Borel E. M´emoire sur les s´eries divergentes // Ann. Sci. ´Ecole Norm. Sup. 1899. Vol. 16, № 3. P. 9—131.
16. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М. : Мир, 1980. 304 c.
17. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. 2-е изд. М. : Наука, 1966. 628 c.
Краткое содержание (на английском языке): 
Полный текст в формате PDF: