В статье исследуется фундаментальная задача о продолжении обобщенных решений систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами $P(D)u=0$ в многомерном параллелепипеде $\pi \subset \mathbb{R}^n$. В отличие от классических работ, где решения рассматриваются в пространствах распределений (обобщенных функций конечного порядка), здесь продолжение строится в классе обобщенных функций бесконечного порядка, тесно связанных с аналитическими функционалами и теорией гиперфункций. Рассматривается решение $u$, заданное только в окрестности объединения $n$ граней $\bigcup\limits_{k=1}^n {{\pi_k}}$ параллелепипеда. Ключевым результатом является теорема о продолжении, которая утверждает, что при условии слабой гиперболичности оператора $P(D)$ относительно нормалей к граням и определенном условии на его характеристическое множество $N'=\mathrm{char}(P)$ всякое обобщенное решение $u$ из соответствующего пространства обобщенных функций бесконечного порядка $\mathcal{U}_L^\beta$ может быть продолжено до решения $\upsilon$ в окрестности всего параллелепипеда $\pi$. Доказательство базируется на теории представления обобщенных решений Паламодова и методе «склеивания» аналитических функционалов. Функционал $u$ представляется в виде $n$ функционалов, сосредоточенных на характеристическом множестве $N$, которые затем с помощью аппарата комплексного анализа объединяются в единый функционал $\widetilde \mu$ на всей области. Также приведена оценка нормы продолженного решения $\upsilon$ через норму исходного решения $u$. Результат представляет собой значимое обобщение классических задач Гурса и Дарбу – Гурса – Бодо, перенося их в наиболее широкие функциональные классы, что имеет важное значение для современной математической физики и анализа.