В статье введен в рассмотрение и изучен новый класс почти периодических на бесконечности функций, который определяется с помощью подпространства интегрально убывающих на бесконечности функций. Он является более широким по сравнению с классом почти периодических на бесконечности функций, введенным в работах А. Г. Баскакова (относительно подпространства исчезающих на бесконечности функций). Достаточно обратиться к теории аппроксимации для нового класса функций, где коэффициентами Фурье являются медленно меняющиеся на бесконечности функции относительно подпространства интегрально убывающих на бесконечности функций. Сформулированы три эквивалентных определения почти периодической на бесконечности функции относительно интегрально убывающих на бесконечности функций. Для их исследования применяется теория банаховых модулей над алгеброй L1(R) суммируемых функций. Почти периодические на бесконечности функции естественным образом возникают как решение дифференциальных уравнений. Получены критерии почти периодичности на бесконечности ограниченных решений обыкновенных дифференциальных уравнений вида ˙ x(t) = Ax(t) + z(t), t ∈ J, где A - линейный оператор и z- интегрально убывающая на бесконечности функция, определённая на бесконечном промежутке J совпадающем с одним из множеств R или R+.