Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Belkina T. A., Ogareva A. S. Risky investments and survival probability in the insurance model with two-sided jumps: Problems for integrodifferential equations and ordinary differential equation and their equivalence [Белкина Т. А., Огарева А. С. Рисковые инвестиции и вероятность неразорения в модели страхования с двусторонними скачками: задачи для интегродифференциальных уравнений и обыкновенного дифференциального уравнения и их эквивалентность] // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, вып. 3. С. 278-285. DOI: 10.18500/1816-9791-2023-23-3-278-285, EDN: HYOWQI


Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
31.08.2023
Полный текст:
(downloads: 582)
Язык публикации: 
английский
Рубрика: 
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
519.624:519.86
EDN: 
HYOWQI

Risky investments and survival probability in the insurance model with two-sided jumps: Problems for integrodifferential equations and ordinary differential equation and their equivalence
[Рисковые инвестиции и вероятность неразорения в модели страхования с двусторонними скачками: задачи для интегродифференциальных уравнений и обыкновенного дифференциального уравнения и их эквивалентность]

Авторы: 
Белкина Татьяна Андреевна, Центральный экономико-математический институт РАН
Огарева Анна Сергеевна, Московская школа экономики МГУ имени М. В. Ломоносова
Аннотация: 

Рассматривается модель страхового портфеля, включающего рисковое страхование и пожизненные аннуитеты в предположении, что резерв (или некоторая его доля) инвестируется в рисковый актив, динамика цены которого моделируется геометрическим броуновским движением. Резерв портфеля  (в отсутствие инвестиций) описывается стохастическим процессом, включающим двусторонние скачки и непрерывный снос, при этом скачки вниз соответствуют размерам требований, а скачки вверх интерпретируются как случайные доходы, возникающие в финальные моменты реализации аннуитетов (т.е. в моменты окончания жизни страхователей). Снос определяется разностью между премиями по рисковому страхованию и выплатами по аннуитетам. Проблема разорения в модели с инвестициями изучается с помощью подхода, основанного на интегродифференциальных уравнениях (ИДУ) для вероятности неразорения как функции начального резерва. Основная трудность при вычислении вероятности неразорения как решения ИДУ состоит в том, что начальные значения самой вероятности или ее производной (т.е. при нулевом начальном резерве) априорно в общем случае неизвестны. Для случая экспоненциального распределения скачков предлагается решение данной проблемы, основанное на утверждении об эквивалентности задачи для ИДУ  задаче для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) при добавлении некоторого нелокального условия. В результате применения такого подхода может  быть получено  решение исходной задачи как решение задачи для ОДУ с неизвестным параметром, который в конечном итоге определяется при использовании указанного нелокального условия и  условия нормировки.

Список источников: 
  1. Zhang Z., Yang H., Li S. The perturbed compound Poisson risk model with two-sided jumps. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2010, vol. 233, iss. 8, pp. 1773–1784. https://doi.org/10.1016/j.cam.2009.09.014
  2. Cheung E. C. K. On a class of stochastic models with two-sided jumps. Queueing Systems, 2011, vol. 69, iss. 1, pp. 1–28. https://doi.org/10.1007/s11134-011-9228-z
  3. Kabanov Yu., Pukhlyakov N. Ruin probabilities with investments: smoothness, integrodifferential and ordinary differential equations, asymptotic behavior. Journal of Applied Probability, 2022, vol. 59, iss. 2, pp. 556–570. https://doi.org/10.1017/jpr.2021.74
  4. Belkina T. Risky investment for insurers and sufficiency theorems for the survival probability. Markov Processes and Related Fields, 2014, vol. 20, iss 3, pp. 505–525. Available at: http://math-mprf.org/journal/articles/id1344/ (accessed November 5, 2022).
  5. Belkina T. A., Konyukhova N. B., Kurochkin S. V. Singular boundary value problem for the integrodifferential equation in an insurance model with stochastic premiums: Analysis and numerical solution. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2012, vol. 52, iss. 10, pp. 1384–1416. https://doi.org/10.1134/S0965542512100077
Поступила в редакцию: 
30.11.2022
Принята к публикации: 
25.12.2022
Опубликована: 
31.08.2023