Образец для цитирования:

Невский М. В., Ухалов А. Ю. Некоторые свойства 0/1-симплексов // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2018. Т. 18, вып. 3. С. 305-315. DOI: https://doi.org/https://doi.org/10.18500/1816-9791-2018-18-3-305-315


Рубрика: 
УДК: 
514.17+517.51+519.6
Язык публикации: 
русский

Некоторые свойства 0/1-симплексов

Аннотация: 

Пусть n ∈ N, Q n = [0,1] n . Для n-мерного невырожденного симплекса S под σS понимается результат гомотетии S относительно центра тяжести с коэффициентом гомотетии σ. Положим ξ(S) = min{σ > 1 : Q n ⊂ σS}, ξ n = min{ξ(S) : S ⊂ Q n }. Через P обозначим интерполяционный проектор, действующий из C(Q n ) на пространство линейных функций от n переменных, узлы которого совпадают с вершинами симплекса S ⊂ Q n . Пусть kPk — норма P как оператора из C(Q n ) в C(Q n ), θ n = minkPk. и симплекса S ⊂ Q n . Пусть kPk — норма P как оператора из C(Q n ) в C(Q n ), θ n = minkPk. Через ξ ′
n и θ ′ n обозначаются величины, аналогичные ξ n и θ n , при дополнительном ограничении, что рассматриваемые симплексы являются 0/1-многогранниками,
т.е.их вершины совпадают  с вершинами Q n .В статье систематизируются общие оценки чиселξ ′
n ,θ ′ n , а также приводятся их новые оценки и точные значения для конкретных n. Доказывается,чтоξ ′ n ≍ n,
θ ′ n ≍ √ n.Пусть одна из вершин 0/1-симплекса S ∗ есть произвольная вершина v куба Q n ,а nостальных являются смежными с противоположной к v вершиной куба. Для 2 6 n 6 5 каждый симплекс, экстремальный в смысле ξ ′ n , совпадает с S ∗ . Минимальное n, при котором ξ(S ∗ ) > ξ ′ n , равно 6. Обозначим через P ∗ интерполяционный проектор с узлами в вершинах S ∗ . Минимальное n, при котором kP ∗ k > θ ′ n , равно 5.

Библиографический список

1. Scott P. R. Lattices and convex sets in space // Quart. J. Math. Oxford (2). 1985. Vol. 36. Р. 359–362.
2. Scott P. R. Properties of axial diameters // Bull. Austral. Math. Soc. 1989. Vol. 39. P. 329–333.
3. Невский М. В. Об одном свойстве n-мерного симплекса // Матем. заметки. 2010. Т. 87, № 4. С. 580–593. DOI: 10.4213/mzm7698
4. Nevskii M. Properties of axial diameters of a simplex // Discrete Comput. Geom. 2011. Vol. 46, № 2. P. 301–312. DOI: 10.1007/s00454-011-9355-7
5. Невский М. В. Геометрические оценки в полиномиальной интерполяции. Ярославль :ЯрГУ, 2012. 218 c.
6. Холл M. Комбинаторика / пер. с англ. М. : Мир, 1970. 424 с.
7. Hudelson M., Klee V., Larman D. Largest j-simplices in d-cubes: some relatives of the Hadamard maximum determinant problem // Linear Algebra Appl. 1996. Vol. 241–243. P. 519–598.
8. Невский М. В. Оценки для минимальной нормы проектора при линейной интерполяции по вершинам n-мерного куба // Моделирование и анализ информационных систем. 2003. Т. 10, № 1. C. 9–19.
9. Тараканов В. Е. Комбинаторные задачи и (0,1)-матрицы. М. : Наука, 1985. 218 c.

10. Сегё Г. Ортогональные многочлены : пер. с англ. М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1962. 500 c.

11. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. М. : Наука, 1979. 416 c.
12. Невский М. В., Ухалов А. Ю. Об n-мерных симплексах, удовлетворяющих включениям S ⊂ [0,1] n ⊂ nS // Моделирование и анализ информационных систем. 2017. Т. 24, № 5. C. 578–595. DOI: https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-5-578-595
13. Невский М. В., Ухалов А. Ю. Новые оценки числовых величин, связанных с симплексом // Моделирование и анализ информационных систем. 2017. Т. 24, № 1. С. 94–110. DOI: https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-1-94-110
14. Mangano S. Mathematica cookbook. Cambridge : O’Reilly Media Inc., 2010. 832 p.
15. Дьяконов В. П. Mathematica 5/6/7. Полное руководство. М. : ДМК Пресс, 2010. 624 c.

Краткое содержание (на английском языке): 
Полный текст в формате PDF: