Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)

Для цитирования:

Ломов И. С. Спектральный метод Ильина установления свойств базисности и равномерной сходимости биортогональных разложений на конечном интервале // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2019. Т. 19, вып. 1. С. 34-58. DOI: 10.18500/1816-9791-2019-19-1-34-58, EDN: XDDPFB

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
28.02.2019
Полный текст:
скачать
(downloads: 249)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Математика
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.927.25
DOI: 
10.18500/1816-9791-2019-19-1-34-58
EDN: 
XDDPFB

Спектральный метод Ильина установления свойств базисности и равномерной сходимости биортогональных разложений на конечном интервале

Авторы: 
Ломов Игорь Сергеевич, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Аннотация: 

В работе обсуждаются основы спектрального метода В. А. Ильина на примере простого дифференциального оператора второго порядка на отрезке числовой прямой. Сформулирована первая теорема Ильина о безусловной базисности. Приведено ее подробное доказательство. Прослежена цепочка обобщений этой теоремы и сформулирована недавно установленная теорема о безусловной базисности для дифференциальных операторов с общими—интегральными—краевыми условиями. Продемонстрирована схема обоснования утверждений о равномерной сходимости биортогональных разложений функций с использованием метода Ильина. Сформулированы основные теоремы, в том числе недавно установленная теорема для операторов с интегральными краевыми условиями.

Ключевые слова: 
дифференциальный оператор
собственные и присоединенные функции
спектр
безусловный базис
равномерная сходимость биортогональных рядов
Список источников: 
  1. Ильин В. А. О равномерной равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора и в тригонометрический ряд Фурье // Докл. АН СССР. 1975. Т. 223, № 3. С. 548–551.
  2. Ильин В. А. О равносходимости разложений в тригонометрический ряд Фурье и по собственным функциям пучка М. В. Келдыша обыкновенных несамосопряженных дифференциальных операторов // Докл. АН СССР. 1975. Т. 225, № 3. С. 497–499.
  3. Ильин В. А. Спектральная теория дифференциальных операторов. М. : Наука, 1991. 368 с.
  4. Бари Н. К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве // Учен. зап. МГУ. 1951. Вып. 148. С. 69–107.
  5. Ильин В. А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка // Докл. АН СССР. 1983. Т. 273, № 5. С. 1048–1053.
  6. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, № 12. С. 2059–2071.
  7. Ильин В. А. О базисности Рисса систем корневых вектор-функций разрывного оператора Шредингера с матричным потенциалом // Докл. АН СССР. 1990. Т. 314, № 1. С. 59–62.
  8. Моисеев Е. И., Барновска М. О безусловной базисности системы собственных и присоединенных функций дифференциального оператора первого порядка в пространстве вектор-функций // Math. Slovaca. 1990. Vol. 40, № 3. P. 325–336.
  9. Керимов Н. Б. Некоторые вопросы спектральной теории несамосопряженных дифференциальных операторов : автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 1987. 15 с.
  10. Керимов Н. Б. О безусловной базисности системы собственных и присоединенных функций дифференциального оператора четвертого порядка // Докл. АН СССР. 1986. Т. 286, № 4. С. 803–808.
  11. Керимов Н. Б. Базисность и равномерная минимальность систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов : автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. М., 1996. 25 с.
  12. Крицков Л. В. О необходимых условиях базисности в L p(G) систем корневых функций одномерного оператора Шредингера // Докл. АН СССР. 1990. Т. 311, № 6. С. 1306–1309.
  13. Ильин В. А. О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора // Матем. заметки. 1977. Т. 22, вып. 5. С. 679–698.
  14. Будаев В. Д. О безусловной базисности систем собственных и присоединенных функций оператора второго порядка с разрывными коэффициентами // Докл. АН СССР. 1986. Т. 289, № 4. С. 777–780.
  15. Будаев В. Д. О неравенстве Бесселя для систем корневых функций дифференциальных операторов // Докл. АН СССР. 1991. Т. 218, № 1. C. 16–20.
  16. Будаев В. Д. Критерии бесселевости и базисности Рисса систем корневых функций дифференциальных операторов // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, № 12. С. 2033– 2044.
  17. Будаев В. Д. Безусловная базисность систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов : автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. М., 1993. 22 с.
  18. Ломов И. С. Неравенство Бесселя, теорема Рисса и безусловная базисность для корневых векторов обыкновенных дифференциальных операторов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 1992. № 5. С. 33–43.
  19. Курбанов В. М. Распределение собственных значений и сходимость биортогональных разложений по корневым функциям обыкновенных дифференциальных операторов : автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. М., 2000. 26 с.
  20. Крицков Л. В. Равномерная оценка порядка присоединенных функций и распределение собственных значений одномерного оператора Шредингера // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, № 7. С. 1121–1129.
  21. Крицков Л. В. Некоторые спектральные свойства сингулярных обыкновенных операторов второго порядка : автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 1990. 19 с.
  22. Ильин В. А., Моисеев Е. И. О системах, состоящих из подмножеств корневых функций двух различных краевых задач // Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1992. Т. 201. С. 219–230.
  23. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М. : Наука, 1972. 496 с.
  24. Krall A. M. The development of general differential boundary systems // Rocky Mountain J. Math. 1975. Vol. 5, № 4. P. 493–542.
  25. Нахушев А. М., Дикинов Х. Ж., Керефов А. А. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения теплопроводности // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, № 1. С. 177–179.
  26. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их применение. М. : Наука, 2012. 232 с.
  27. Ломов И. С. Пример разрывного оператора, имеющего разрывный сопряженный. Свойство базисности // Задачи математической физики и спектральная теория операторов. М. : МЭИ, 1989. № 215. С. 46–50.
  28. Ломов И. С. О базисности корневых функций операторов с многоточечными краевыми условиями // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, № 6. С. 1053–1056.
  29. Ломов И. С. О свойствах корневых функций оператора Штурма–Лиувилля, разрывных на всюду плотном множестве // Изв. вузов. Матем. 1990. № 8. С. 35–44.
  30. Ломов И. С. Свойство базисности корневых векторов нагруженных дифференциальных операторов второго порядка // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, № 1. С. 80–93.
  31. Ломов И. С. Теорема о безусловной базисности корневых векторов нагруженных дифференциальных операторов второго порядка // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, № 9. С. 1550–1563.
  32. Ломов И. С. О базисности систем нерегулярных корневых векторов дифференциальных операторов высокого порядка // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, № 1. С. 74–86.
  33. Белянцев О. В. Неравенство Бесселя и свойство базисности корневых функций сингулярного дифференциального оператора второго порядка // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, № 8. С. 1011–1020.
  34. Юрко В. А. Граничные задачи с условиями разрывов во внутренней точке интервала // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, № 8. С. 1266–1269.
  35. Макин А. С. О сходимости средних Рисса спектральных разложений, отвечающих одномерному оператору Шредингера // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, № 5. С. 897–899.
  36. Макин А. С. О средних Рисса биортогональных разложений по корневым функциям несамосопряженных расширений оператора Шредингера // Докл. АН СССР. 1992. Т. 322, № 3. С. 472–475.
  37. Макин А. С. О свойствах корневых функций и спектральных разложений, отвечающих несамосопряженным дифференциальным операторам : автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. М., 2000. 26 с.
  38. Ильин В. А., Тихомиров В. В. О базисности риссовских средних спектральных разложений, отвечающих обыкновенному несамосопряженному оператору порядка s // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 12. С. 2098–2126.
  39. Ильин В. А. Оценка разности средних Рисса двух спектральных разложений для функций из класса L2 // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, № 5. С. 852–863.
  40. Салимов Я. Ш. О средних Рисса разложений по корневым функциям некоторых нелокальных краевых задач // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 1. С. 155–160.
  41. Тихомиров В. В. О безусловной базисности корневых векторов нагруженных операторов // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, № 2. С. 355–357.
  42. Тихомиров В. В. О безусловной базисности корневых векторов нелокальных задач для систем уравнений с отклоняющимся аргументом // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, № 1. С. 147–153.
  43. Барновска М., Тихомиров В. В. О базисности Рисса корневых векторов нелокальных задач для системы дифференциальных уравнений // Math. Slovaca. 1993. Vol. 43, № 2. P. 193–205.
  44. Ломов И. С. Некоторые свойства спектральных разложений, связанных с операторами типа Штурма–Лиувилля // Докл. АН СССР. 1979. Т. 248, № 5. С. 1063–1065.
  45. Ломов И. С. Некоторые свойства собственных и присоединенных функций оператора Штурма–Лиувилля // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 10. С. 1684–1694.
  46. Тихомиров В. В. Точные оценки регулярных решений одномерного несамосопряженного уравнения Шредингера // Докл. АН СССР. 1982. Т. 273, № 4. С. 807–810.
  47. Тихомиров В. В. Точные оценки собственных функций произвольного несамосопряженного оператора Шредингера // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, № 8. С. 1378–1385.
  48. Ломов И. С. Оценки корневых функций оператора, сопряженного к дифференциальному оператору второго порядка с интегральными краевыми условиями // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54, № 5. С. 602–612. DOI: https://doi.org/10.1134/S037406411804
  49. Ильин В. А., Крицков Л. В. Свойства спектральных разложений, отвечающих несамосопряженным дифференциальным операторам // Функциональный анализ. Итоги науки и техники. Сер. Совр. матем. и ее приложения. Темат. обзор. М. : ВИНИТИ, 2006. Т. 96. С. 190–231.
  50. Хромов А. П. Спектральный анализ дифференциальных операторов на конечном интервале // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, № 10. С. 1691–1696.
  51. Хромов А. П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальных операторов // Матем. сб. 1981. Т. 114, № 3. С. 378–405.
  52. Хромов А. П. О равносходимости разложений по собственным функциям конечномерных возмущений оператора интегрирования // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2000. № 2. С. 21–26.
  53. Курдюмов В. П., Хромов А. П. О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций функционально-дифференциального уравнения с оператором отражения // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, № 2. С. 196–204.
  54. Бурлуцкая М. Ш., Хромов А. П. Резольвентный подход в методе Фурье // Докл. РАН. 2014. Т. 458, № 2. С. 138—140. DOI: https://doi.org/10.7868/S0869565214260041
  55. Ломов И. С. Интегральные представления нерегулярных корневых функций нагруженных дифференциальных операторов второго порядка // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52, № 12. С. 1634–1646. DOI: https://doi.org/10.1134/S03740641160
  56. Шкаликов А. А. О базисности собственных функций обыкновенного дифференциального оператора с интегральными краевыми условиями // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 1982. № 6. С. 12–21.
  57. Ломов И. С. Равномерная сходимость биортогонального ряда для оператора Шредингера с многоточечными краевыми условиями // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 7. С. 890–896.
  58. Гомилко А. М., Радзиевский Г. В. Базисные свойства собственных функций регулярной краевой задачи для векторного функционально-дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, № 3. С. 384–396.
  59. Хромов А. П. О равносходимости разложений по собственным функциям оператора дифференцирования с интегральным граничным условием // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 5. С. 129–131.
  60. Хромов А. П. Об аналоге теоремы Жордана–Дирихле для разложений по собственным функциям дифференциально-разностного оператора с интегральным граничным условием // Докл. РАЕН (Поволжское межрегиональное отделение). 2004. № 4. С. 80–87.
  61. Седлецкий А. М. Аппроксимативное свойство систем экспонент в Lp(a,b) // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, № 10. С. 1675–1681.
  62. Пулькина Л. С., Дюжева А. В. Нелокальная задача с переменными по времени краевыми условиями Стеклова для гиперболического уравнения // Вестн. СамГУ. Естественнонауч. сер. 2010. Вып. 4(85). С. 56–64.
  63. Самарская Т. А. О равносходимости спектральных разложений, отвечающих несамосопряженным расширениям дифференциального оператора второго порядка // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, № 1. С. 155–166.
  64. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М. : Наука, 1969. 526 с.
  65. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма– Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках // Докл. АН СССР. 1986. Т. 291, № 3. С. 534–539.
  66. Самарская Т. А. Абсолютная и равномерная сходимость разложений по корневым функциям нелокальной краевой задачи первого рода // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, № 7. С. 1152–1160.
  67. Мустафин М. А. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов по одной системе синусов // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, № 8. С. 1465–1466.
  68. Lazetic N. L. On uniform convergence on closed intervals of spectral expansions and their derivatives for functions from W1 p // Matematicki Vesnik. 2004. Vol. 56, № 3–4. P. 91–104.
  69. Kurbanov V. M. Conditions for the absolute and uniform convergence of the biorthogonal series corresponding to a differential operator // Dokl. Math. 2008. Vol. 78, № 2. P. 748– 750.
  70. Ломов И. С. Оценки скорости сходимости и равносходимости спектральных разложений обыкновенных дифференциальных операторов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 4. С. 405–418. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2015-15-4-405-418
Поступила в редакцию: 
13.04.2018
Принята к публикации: 
15.06.2018
Опубликована: 
28.02.2019
Краткое содержание:
скачать
(downloads: 103)
  • 1542 просмотра