Образец для цитирования:

Кириллов А. Н., Алькин Р. В. Устойчивость периодических бильярдных траекторий в треугольнике . //Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика, 2018 Т. 18, вып. 1. С. 25-39. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2018-18-1-25-39


Рубрика: 
УДК: 
517.938
Язык публикации: 
русский

Устойчивость периодических бильярдных траекторий в треугольнике

Аннотация: 

Рассматривается проблема устойчивости периодических бильярдных траекторий в треугольниках. Под устойчивостью понимается сохранение периода и качественной структуры траектории (её комбинаторного типа) при достаточно малых изменениях треугольника. Для описания устойчивых траекторий вводятся различные виды развёрток: геометрические, алгебраические, веерные. На основе введённых развёрток предложен новый метод веерного кодирования, упрощающий исследование устойчивости периодических траекторий. Для классификации траекторий введены понятия эквивалентности кодов и комбинаторного типа траектории. Дано строгое определение устойчивой периодической траектории в треугольнике. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости веерного кода (теорема 1). С целью упрощения систематизации устойчивых периодических траекторий введено понятие <<паттерн>>, позволяющее генерировать устойчивые коды (теорема 2). Предложен конструктивный метод построения
устойчивых периодических траекторий (теорема 3). Приведены примеры применения введённых понятий к периодическим бильярдным траекториям, в частности в тупоугольном треугольнике. Предложенный аппарат применим как к остроугольным, так и тупоугольным треугольникам, что открывает возможность его использования для решения проблемы существования периодической бильярдной траектории в произвольном тупоугольном треугольнике. Введено новое понятие условной устойчивости периодической бильярдной траектории при специальном изменении треугольника.

Библиографический список

1. Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория. М. : Наука, 1980. 384 с.
2. Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. М. : Физматгиз, 1962. 263 с.
3. Рубинштейн А. И., Теляковский Д. С. Замечания о задаче Фаньяно // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 4, ч. 1. С. 382–387.
4. Воробец Я. Б., Гальперин Г. A., Степин А. М. Периодические бильярдные траектории в многоульниках : механизмы рождения // УМН. 1992. Т. 47, № 3. С. 9–74.
5. Schwartz R. E. Obtuse Triangular Billiards II : One Hundred Degrees Worth of Periodic Trajectories // Experimental Math. 2008. Vol. 18, iss. 2. P. 137–171. DOI: 10.1080/10586458.2009.10128891.
6. Козлов В. В. Задача об устойчивости двухзвенных траекторий многомерного биллиарда Биркгофа // Тр. МИАН. 2011. Т. 273. C. 212–230.
7. Маркеев А. П. Об устойчивости двухзвенной траектории параболоидного бильярда Биркгофа // Нелинейная динамика. 2016. Т. 12, № 1. C. 75–90. DOI: 10.20537/nd1601005.
8. Кравцов В. М., Калакова Г. К. Геометрия бильярдных траекторий в многоугольниках. СПб. : ЕВРАЗИЯ, 2013. 304 с.

Краткое содержание (на английском языке): 
Полный текст в формате PDF: