Izvestiya of Saratov University.

Mathematics. Mechanics. Informatics

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)

For citation:

Plotnikov M. G., Plotnikova J. A. Martingales and Theorems of Cantor–Young–Bernstein and de la Vallée Poussin. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2014, vol. 14, iss. 4, pp. 569-574. DOI: 10.18500/1816-9791-2014-14-4-569-574, EDN: TBDAIN

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0).
Published online: 
01.12.2014
Full text:
download
(downloads: 150)
Language: 
Russian
Heading: 
Mathematics
UDC: 
517.518.3+519.216.8
DOI: 
10.18500/1816-9791-2014-14-4-569-574
EDN: 
TBDAIN

Martingales and Theorems of Cantor–Young–Bernstein and de la Vallée Poussin

Autors: 
Plotnikov M. G., Vologda State Dairy Farming Academy by N.V. Vereshchagin
Plotnikova Ju. A., Vologda State Dairy Farming Academy by N.V. Vereshchagin
Abstract: 

Uniqueness problems for one-dimensional Haar series and for multiple ones have understood in numerous works. It is well-known that the subsequence of the partial sums S2k of an arbitrary Haar series can be represented as a discrete-time martingale on some filtered probability space (­Ω, F, (Fk), P). In paper the concept of a U -set for martingales is presented and some uniqueness theorems for martingales on arbitrary compact filtered probability spaces are established. In particular, it is proved that every set U ∈ ∪∞k=0Fk с P(U) = 0 is a U -set for martingales on a compact space (Ω­, F, (Fk), P) (Cantor–Young–Bernstein type theorem). The result above is supplemented by some de la Vallée Poussin type theorems.

Key words: 
set of uniqueness
martingale
filtered probability space
Cantor – Young – Bernstein theorem
de la Vallée Poussin theorem
References: 
  1.  Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М : ГИФМЛ, 1961. 936 с.
  2.  Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. М : Изд-во АФЦ, 1999. 560 с.
  3.  Голубов Б. И. Ряды по системе Хаара // Итоги науки. Сер. Математика. Матем. анализ. 1970, 1971. С. 109–146.
  4.  Скворцов В. А. О множествах единственности для многомерных рядов Хаара // Матем. заметки. 1973. Т. 14, № 6. С. 789–798.
  5.  Плотников М. Г. Вопросы единственности для кратных рядов Хаара // Матем. сб. 2005. Т. 196, № 2. С. 97–116. DOI: 10.4213/sm1268.
  6.  Плотников М. Г. О нарушении единственности для двумерных рядов Хаара // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. 2003. № 4. С. 20–24.
  7.  Арутюнян Ф. Г., Талалян А. А. О единственности рядов по системам Хаара и Уолша // Изв. АН СССР. Cер. матем. 1964. Т. 28, вып. 6. С. 1391–1408.
  8.  Скворцов В. А., Талалян А. А. Некоторые вопросы единственности кратных рядов по системе Хаара и тригонометрической системе // Матем. заметки. 1989. Т. 46, № 2. C. 104–113.
  9.  Skvortsov V. Henstock–Kurzweil type integrals in Padic harmonic analysis // Acta Math. Acad. Paedagog. Nyhazi. (N.S.). 2004. Vol. 20, № 2. P. 207–224.
  10.  Плотников М. Г. Некоторые свойства многомерных обобщенных интегралов и теоремы типа Дю Буа-Реймона для двойных рядов Хаара // Матем. сб. 2007. Т. 198, № 7. С. 63–90. DOI: 10.4213/sm1506.
  11.  Gundy R. F. Martingale theory and pointwise convergence of certain orthogonal series // Trans. Amer. Math. Soc. 1966. Vol. 124, № 2. P. 228–248.
  12.  Ширяев А. Н. Вероятность. М. : Наука, 1989. 640 с.
  13.  Skvortsov V. A. Martingale closure theorem for A-integrable martingale sequences // Real Anal. Exchange. 1998–1999. Vol. 24, № 2. P. 815–820.
  14.  Костин В. В. Замкнутость справа мартингальных последовательностей в смысле A-интеграла // Матем. заметки. 2000. Т. 68, № 1. С. 98–104. DOI:10.4213/mzm923.
  15. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики : в 2 т. Т. 1. М. : Фазис, 1998. 512 с. 
Received: 
17.06.2014
Accepted: 
28.10.2014
Published: 
01.12.2014
  • 948 reads