For citation:
Plotnikov M. G., Plotnikova J. A. Martingales and Theorems of Cantor–Young–Bernstein and de la Vallée Poussin. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2014, vol. 14, iss. 4, pp. 569-574. DOI: 10.18500/1816-9791-2014-14-4-569-574, EDN: TBDAIN
Martingales and Theorems of Cantor–Young–Bernstein and de la Vallée Poussin
Uniqueness problems for one-dimensional Haar series and for multiple ones have understood in numerous works. It is well-known that the subsequence of the partial sums S2k of an arbitrary Haar series can be represented as a discrete-time martingale on some filtered probability space (Ω, F, (Fk), P). In paper the concept of a U -set for martingales is presented and some uniqueness theorems for martingales on arbitrary compact filtered probability spaces are established. In particular, it is proved that every set U ∈ ∪∞k=0Fk с P(U) = 0 is a U -set for martingales on a compact space (Ω, F, (Fk), P) (Cantor–Young–Bernstein type theorem). The result above is supplemented by some de la Vallée Poussin type theorems.
- Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М : ГИФМЛ, 1961. 936 с.
- Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. М : Изд-во АФЦ, 1999. 560 с.
- Голубов Б. И. Ряды по системе Хаара // Итоги науки. Сер. Математика. Матем. анализ. 1970, 1971. С. 109–146.
- Скворцов В. А. О множествах единственности для многомерных рядов Хаара // Матем. заметки. 1973. Т. 14, № 6. С. 789–798.
- Плотников М. Г. Вопросы единственности для кратных рядов Хаара // Матем. сб. 2005. Т. 196, № 2. С. 97–116. DOI: 10.4213/sm1268.
- Плотников М. Г. О нарушении единственности для двумерных рядов Хаара // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. 2003. № 4. С. 20–24.
- Арутюнян Ф. Г., Талалян А. А. О единственности рядов по системам Хаара и Уолша // Изв. АН СССР. Cер. матем. 1964. Т. 28, вып. 6. С. 1391–1408.
- Скворцов В. А., Талалян А. А. Некоторые вопросы единственности кратных рядов по системе Хаара и тригонометрической системе // Матем. заметки. 1989. Т. 46, № 2. C. 104–113.
- Skvortsov V. Henstock–Kurzweil type integrals in Padic harmonic analysis // Acta Math. Acad. Paedagog. Nyhazi. (N.S.). 2004. Vol. 20, № 2. P. 207–224.
- Плотников М. Г. Некоторые свойства многомерных обобщенных интегралов и теоремы типа Дю Буа-Реймона для двойных рядов Хаара // Матем. сб. 2007. Т. 198, № 7. С. 63–90. DOI: 10.4213/sm1506.
- Gundy R. F. Martingale theory and pointwise convergence of certain orthogonal series // Trans. Amer. Math. Soc. 1966. Vol. 124, № 2. P. 228–248.
- Ширяев А. Н. Вероятность. М. : Наука, 1989. 640 с.
- Skvortsov V. A. Martingale closure theorem for A-integrable martingale sequences // Real Anal. Exchange. 1998–1999. Vol. 24, № 2. P. 815–820.
- Костин В. В. Замкнутость справа мартингальных последовательностей в смысле A-интеграла // Матем. заметки. 2000. Т. 68, № 1. С. 98–104. DOI:10.4213/mzm923.
- Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики : в 2 т. Т. 1. М. : Фазис, 1998. 512 с.
- 1069 reads