В работе рассматриваются операции над целыми абелевыми числами ранга $n$. Такие числа по определению являются элементами поля комплексных чисел и имеют вид многочленов с целыми коэффициентами от заданного первообразного корня из единицы степени $n$, при этом степени таких многочленов ограничены функцией Эйлера $\varphi(n)$. Приведен пример, показывающий, что внутри круга на комплексной плоскости можно найти бесконечно много целых абелевых чисел. Для  описанных операций, в частности, представлен алгоритм вычисления обратного для данного целого абелева числа ранга $n$, что позволяет рассматривать не только кольца таких чисел, но и поля целых абелевых чисел. Естественная арифметика, возникающая для таких алгебраических структур, приводит к вопросу об изучении многочленов с целыми абелевыми коэффициентами. Исследуется задача поиска корней таких многочленов. Предложен алгоритм нахождения целых абелевых корней многочленов над кольцом целых абелевых чисел. Этот алгоритм основан на выдвинутом предложении о том, что все корни заданного многочлена ограничены некоторой областью. Проведены компьютерные вычисления, подтверждающие статистическую верность предложения.