Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Цыбуля Л. М. Алгоритмический поиск целых абелевых корней многочлена с целыми абелевыми коэффициентами // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024. Т. 24, вып. 2. С. 193-199. DOI: 10.18500/1816-9791-2024-24-2-193-199, EDN: XHDOSA

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
31.05.2024
Полный текст:
(downloads: 134)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
519.688
EDN: 
XHDOSA

Алгоритмический поиск целых абелевых корней многочлена с целыми абелевыми коэффициентами

Авторы: 
Цыбуля Лилия Михайловна, Московский педагогический государственный университет
Аннотация: 

В работе рассматриваются операции над целыми абелевыми числами ранга $n$. Такие числа по определению являются элементами поля комплексных чисел и имеют вид многочленов с целыми коэффициентами от заданного первообразного корня из единицы степени $n$, при этом степени таких многочленов ограничены функцией Эйлера $\varphi(n)$. Приведен пример, показывающий, что внутри круга на комплексной плоскости можно найти бесконечно много целых абелевых чисел. Для  описанных операций, в частности, представлен алгоритм вычисления обратного для данного целого абелева числа ранга $n$, что позволяет рассматривать не только кольца таких чисел, но и поля целых абелевых чисел. Естественная арифметика, возникающая для таких алгебраических структур, приводит к вопросу об изучении многочленов с целыми абелевыми коэффициентами. Исследуется задача поиска корней таких многочленов. Предложен алгоритм нахождения целых абелевых корней многочленов над кольцом целых абелевых чисел. Этот алгоритм основан на выдвинутом предложении о том, что все корни заданного многочлена ограничены некоторой областью. Проведены компьютерные вычисления, подтверждающие статистическую верность предложения.

Благодарности: 
Идейным руководителем данного исследования был профессор А. В. Гришин (Московский педагогический государственный университет). Автор также весьма признателен А. А. Прокопцеву за помощь в компьютерных вычислениях.
Список источников: 
  1. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. Москва : Наука, 1985. 503 с.
  2. Гришин А. В. О периодической части группы невырожденных 2х2-матриц // Международная конференция, посвященная 90-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ. Москва, 2019. С. 26.
  3. Гришин А. В., Цыбуля Л. М. О кручении в полной линейной группе и алгоритме диагонализации // Фундаментальная и прикладная математика. 2021. Т. 23, вып. 4. С. 55–71.
  4. Murty M. R., Esmond J. Problems in Algebraic Number Theory. New York : Springer New York, 2004. 369 p. (Graduate Texts in Mathematics, vol. 190). https://doi.org/10.1007/b138452
  5. Гришин А. В., Прокопцев А. А., Цыбуля Л. М. Алгебра и арифметика целых абелевых чисел и компьютерные вычисления // XIII Белорусская математическая конференция : материалы Междунар. науч. конф. (Минск, 22–25 ноября 2021 г.) : в 2 ч. Минск : Беларуская навука, 2021. Ч. 2. С. 38–39.
  6. Greenberg M. J. An elementary proof of the Kronecker –Weber theorem // The American Mathematical Monthly. 1974. Vol. 81, iss. 6. P. 601–607. https://doi.org/10.1080/00029890.1974.11993623
  7. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре : Для физ.-мат. фак. ун-тов и пед. ин-тов. 10-е изд. Москва : Наука. Физматлит, 1972. 304 с.
Поступила в редакцию: 
31.10.2022
Принята к публикации: 
13.01.2023
Опубликована: 
31.05.2024