Для цитирования:
Гусейнов И. Г., Гаджимирзаев Р. М. Двумерные предельные ряды по ультрасферическим полиномам Якоби и их аппроксимативные свойства // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2021. Т. 21, вып. 4. С. 422-433. DOI: 10.18500/1816-9791-2021-21-4-422-433, EDN: SDAGUK
Двумерные предельные ряды по ультрасферическим полиномам Якоби и их аппроксимативные свойства
Пусть $C[-1,1]$ пространство непрерывных на отрезке $[-1,1]$ функций, $C[-1,1]^2$ — пространство функций, непрерывных на квадрате $[-1,1]^2$. Через $P_n^\alpha(x)$ обозначим ультрасферические полиномы Якоби. Ранее для функции $f$ из пространства $C[-1,1]$ были построены предельные ряды по системе полиномов $P_n^\alpha(x)$ и исследованы аппроксимативные свойства их частичных сумм. В частности, была получена оценка сверху для соответствующей функции Лебега. Кроме того, было показано, что частичные суммы предельного ряда, в отличие от сумм Фурье — Якоби, совпадают с исходной функцией в точках $\pm1$. В настоящей работе для функции $f(x,y)$ из пространства $C[-1,1]^2$ построены двумерные предельные ряды по системе ультрасферических полиномов Якоби $P_n^\alpha(x)P_m^\beta(y)$, ортогональной на квадрате $[-1,1]^2$ относительно веса типа Якоби. Показано, что частичная сумма двумерного предельного ряда совпадает с $f(x,y)$ на множестве $\{(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)\}$ и является проектором на подпространство алгебраических полиномов $P(x,y)$. Используя эти свойства, исследованы аппроксимативные свойства частичных сумм двумерного предельного ряда. В частности, исследовано поведение соответствующей двумерной функции Лебега.
- Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. Москва : Наука, 1983. 384 с.
- Malvar H. S. Signal Processing with Lapped Transforms. Artech House, 1992. 380 p.
- Trefethen L. N. Finite Difference and Spectral Methods for Ordinary and Partial Differential Equation. Cornell University, 1996. 299 p.
- Шарапудинов И. И. Многочлены, ортогональные на сетках. Теория и приложения. Махачкала : Изд-во Дагестанского государственного педагогического университета, 1997. 255 с.
- Mukundan R., Ramakrishnan K. R. Moment Functions in Image Analysis. Theory and Applications. Singapore : World Scientific, 1998. 164 p.
- Дедус Ф. Ф., Махортых С. А., Устинин М. Н., Дедус А. Ф. Обобщенный спектрально-аналитический метод обработки информационных массивов. Задачи анализа изображений и распознавания образов. Москва : Машиностроение, 1999. 356 с.
- Trefethen L. N. Spectral Methods in Matlab. Philadelphia : SIAM, 2000. 181 p.
- Шарапудинов И. И. Приближение дискретных функций и многочлены Чебышева, ортогональные на равномерной сетке // Математические заметки. 2000. Т. 67, № 3. С. 295–309. https://doi.org/10.4213/mzm858
- Шарапудинов И. И. Предельные ультрасферические ряды и их аппроксимативные свойства // Математические заметки. 2013. Т. 94, № 2. С. 295–309. https://doi.org/10.4213/mzm10292
- Сегё Г. Ортогональные многочлены. Москва : Физматгиз, 1962. 500 с.
- 1286 просмотров