Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Ковалёв В. А., Радаев Ю. Н. Двусторонние оценки азимутальных чисел, ассоциированных с элементарными волновыми функциями эллиптического цилиндра // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 2. С. 68-81. DOI: 10.18500/1816-9791-2012-12-2-68-81

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
21.05.2012
Полный текст:
(downloads: 111)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
УДК: 
539.374

Двусторонние оценки азимутальных чисел, ассоциированных с элементарными волновыми функциями эллиптического цилиндра

Авторы: 
Ковалёв Владимир Александрович, Московский городской университет управления Правительства Москвы
Радаев Юрий Николаевич, Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского Российской академии наук
Аннотация: 

Статья посвящена вопросам, связанным с построением 2-периодических по “угловой” переменной решений дифференциального уравнения Матье для окружных гармоник эллиптического цилиндра, ассоциированных характеристических значений и азимутальных чисел, необходимых для формирования элементарных волновых функций эллиптического цилиндра. Классическая задача Штурма–Лиувилля для уравнения Матье приводится к спектральной задаче для линейного самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве бесконечных квадратично суммируемых двусторонних последовательностей. Указанный оператор расщепляется затем в сумму диагонального оператора и симметричного бистохастического оператора. Предлагается подход, позволяющий дать весьма простые алгоритмы вычисления характеристических значений “углового” уравнения Матье с вещественными параметрами и соответствующих собственных функций. Приоритет при этом отдается применению наиболее симметричных форм и уравнений, не находивших ранее применения в теории уравнения Матье. По существу, указанные алгоритмы сводятся к построению матрицы, диагонализирующей одну бесконечную симметричную пентадиагональную матрицу. Рассматривается проблема обобщения на случай эллиптической геометрии понятия азимутального числа волны, распространяющейся в цилиндрическом волноводе. Построены уточняющие друг друга двусторонние оценки для спектральных значений дифференциального оператора Матье с периодическими и полупериодическими граничными условиями. 

Список источников: 
  1. Mathieu E. Memoire sur le mouvement vibratoire d’une ´ membrane de forme elliptique // J. des Mathematiques ´ Pures et Appliquees. 1868. Vol. 13. P. 137–203. ´
  2. Радаев Ю. Н., Таранова М. В. Связанное волновое термоупругое поле в длинном волноводе эллиптического поперечного сечения // Вестн. ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния. 2011. № 1(9). С. 183–196.
  3. Ковалев В. А., Радаев Ю. Н. Волновые задачи теории поля и термомеханика. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2010. 328 с.
  4. Стретт М. Д. О. Функции Ламе, Матье и род- ственные им в физике и технике. Харьков; Киев : Гос. науч.-техн. изд-во Украины, 1935. 240 с.
  5. Мак-Лахлан Н. В. Теория и приложения функций Матье. М. : Изд-во иностр. лит., 1953. 476 с.
  6. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения : в 2 т. М.: Изд-во иностр. лит., 1953. Т. 1. 348 с.
  7. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкно- венных дифференциальных уравнений. М. : Изд-во иностр. лит., 1958. 476 с.
  8. Arscott F. M. Periodic differential equations: An introduction to Mathieu, Lame, and allied functions. ´ Oxford; Frankfurt : Pergamon Press, 1964. X+284 p.
  9. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. М. : Наука, 1979. 832 с.
  10. Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фо- гель Т. Функции математической физики : справочное руководство. М. : Физматгиз, 1963. 104 с.
  11. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные опе- раторы. М. : Гостехтеоретиздат, 1954. 352 с.
  12. Марченко В. А. Спектральная теория операторов Штурма–Лиувилля. Киев : Наук. думка, 1972. 220 с.
  13. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма Лиувилля и Дирака. М. : Наука, 1988. 432 с.
  14. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М. : Гостехтеорет издат, 1953. 492 с.
  15. Уилкинсон Дж. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М. : Наука, 1970. 564 с.
  16. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М. : Наука,1969. 368 с.
  17. Ланкастер П. Теория матриц. М. : Наука, 1978.280 с.
  18. Маркус М., Минк Х. Обзор по теории матриц иматричных неравенств. М. : Наука, 1972. 232 с.
  19. Ostrowski A. M. Uber die Determinanten mit ¨ uber- ¨wiegender Hauptdiagonale // Commentarii Mathematici Helvetici. 1937. Vol. 10. P. 69–96.