Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Рыхлов В. С. Единственность решения начально-граничной задачи для гиперболического уравнения со смешанной производной и формула для решения // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, вып. 2. С. 183-194. DOI: 10.18500/1816-9791-2023-23-2-183-194, EDN: VJGXBX

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
31.05.2023
Полный текст:
(downloads: 798)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.958,517.956.32
EDN: 
VJGXBX

Единственность решения начально-граничной задачи для гиперболического уравнения со смешанной производной и формула для решения

Авторы: 
Рыхлов Виктор Сергеевич, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского
Аннотация: 

Исследуется начально-граничная задача для неоднородного гиперболического уравнения второго порядка на конечном отрезке с постоянными коэффициентами и смешанной производной. Рассматривается  случай закрепленных концов. Предполагается, что корни характеристического  уравнения простые и лежат на вещественной оси по разные стороны от начала координат. Определяется классическое решение начально-граничной задачи. Формулируется и доказывается теорема единственности классического  решения. Дается формула для решения в виде ряда, членами которого являются контурные интегралы, содержащие исходные данные задачи. Строится соответствующая спектральная задача для квадратичного пучка и формулируется теорема о разложении первой компоненты вектор-функции по производным цепочкам, соответствующим собственным функциям пучка. Эта теорема существенно используется при доказательстве теоремы единственности классического решения поставленной начально-граничной задачи.

Список источников: 
  1. Толстов Г. П. О второй смешанной производной // Математический сборник. 1949. Т. 24 (66), № 1. С. 27–51.
  2. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. Москва : Наука, 1969. 528 с.
  3. Хромов А. П. Поведение формального решения смешанной задачи для волнового уравнения // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2016. Т. 56, № 2. С. 239–251. https://doi.org/10.7868/S0044466916020149
  4. Хромов А. П. О классическом решении смешанной задачи для однородного волнового уравнения с закрепленными концами и нулевой начальной скоростью // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2019. Т. 19, вып. 3. С. 280–288. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2019-19-3-280-288
  5. Хромов А. П. Расходящиеся ряды и функциональные уравнения, связанные с аналогами геометрической прогрессии // Современные методы теории краевых задач : материалы междунар. конф. : Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения – XXX». Воронеж : Изд. дом ВГУ, 2019. С. 291–300. EDN: TXWNBY
  6. Хромов А. П. Расходящиеся ряды и метод Фурье для волнового уравнения // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 20-й междунар. Саратовской зимней школы. Саратов : Научная книга, 2020. С. 433–439. EDN: IFLQGK
  7. Хромов А. П. Расходящиеся ряды и обобщенная смешанная задача для волнового уравнения // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 21-й междунар. Саратовской зимней школы (Саратов, 31 января – 4 февраля 2022 г.). Саратов : Саратовский университет [Издание], 2022. Вып. 21. С. 319–324.EDN: JPPSUX
  8. Крылов А. Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах. Москва ; Ленинград : ГИТТЛ, 1950. 368 с.
  9. Эйлер Л. Дифференциальное исчисление. Москва ; Ленинград : ГИТТЛ, 1949. 580 с.
  10. Хромов А. П., Корнев В. В. Классическое и обобщенное решения смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2019. Т. 59, № 2. С. 286–300. https://doi.org/10.1134/S0044466919020091
  11. Курдюмов В. П., Хромов А. П., Халова В. А. Смешанная задача для однородного волнового уравнения с ненулевой начальной скоростью с суммируемым потенциалом // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2020. Т. 20, вып. 4. С. 444–456. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2020-20-4-444-456
  12. Хромов А. П., Корнев В. В. Расходящиеся ряды в методе Фурье для волнового уравнения // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 4. С. 215–238. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2021-27-4-215-238
  13. Ломов И. С. Эффективное применение метода Фурье для построения решения смешанной задачи для телеграфного уравнения // Вестник Московского университета. Серия 15: Вычислительная математика и кибернетика. 2021. № 4. С. 37–42. EDN: IUPUAQ
  14. Ломов И. С. Эффективное применение метода Фурье к решению смешанной задачи для телеграфного уравнения // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 21-й междунар. Саратовской зимней школы (Саратов, 31 января – 4 февраля 2022 г.). Саратов : Саратовский университет [Издание], 2022. Вып. 21. С. 178–180. EDN: TZKVJG 
  15. Рыхлов В. С. Метод расходящихся рядов решения смешанной задачи для гиперболического уравнения // Сборник материалов международной конференции «XXXII Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам» (КРОМШ-2021). Симферополь : Полипринт, 2021. С. 22.
  16. Рыхлов В. С. Решение начально-граничной задачи для уравнения гиперболического типа со смешанной производной // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 21-й междунар. Саратовской зимней школы (Саратов, 31 января – 4 февраля 2022 г.). Саратов : Саратовский университет [Издание], 2022. Вып. 21. С. 252–255. EDN: ICBZND
  17. Шкаликов А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Труды семинара имени И. Г. Петровского. Москва : Изд-во Московского ун-та, 1983. № 9. С. 190–229. 
Поступила в редакцию: 
15.04.2022
Принята к публикации: 
01.09.2022
Опубликована: 
31.05.2023