Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Бердников Г. С. Графы с контурами в кратномасштабном анализе на группах Виленкина // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 4. С. 377-388. DOI: 10.18500/1816-9791-2016-16-4-377-388, EDN: XHPYFP

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
14.11.2016
Полный текст:
(downloads: 152)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
УДК: 
517.986.62
EDN: 
XHPYFP

Графы с контурами в кратномасштабном анализе на группах Виленкина

Авторы: 
Бердников Глеб Сергеевич, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского
Аннотация: 

В данной статье исследуется вопрос построения ортогонального кратномасштабного анализа на группах Виленкина. В предыдущих работах С. Ф. Лукомского, Ю. С. Крусс и автора обсуждается алгоритм построения масштабирующей фунции ϕ с компактным носителем, преобразование Фурье которой также имеет компактный носитель. Реализация данного алгоритма тесно связана с определенного типа ориентированными графами, строящимися по так называемым N-валидным деревьям. Особенностью этих графов является отсутствие ориентированных циклов — контуров, что позволяет строить функции с ограниченным носителем преобразования Фурье. Такой подход обладает рядом преимуществ. Во-первых, он не является переборным, в отличие от алгоритма, связанного с использованием блокированных множеств, описанного в работах Ю. А. Фаркова. Во-вторых, он удобен для обобщения на локальные поля положительной характеристики, что было проделано Ю. С. Крусс. Данная работа является первым шагом в использовании графов с контурами для аналогичных целей. Развивая идеи из предыдущих работ, по 1-валидному дереву мы строим граф с единственным простым контуром. Удается доказать, что такой граф также порождает ортогональную масштабирующую функцию. Однако из-за появления контура преобразование Фурье масштабирующей функции уже не будет иметь компактный носитель.

Список источников: 
  1. Протасов В. Ю., Фарков Ю. А. Диадические вейвлеты и масштабирующие функции на полупрямой // Матем. сб. 2006. Т. 197, № 10. С. 129–160. DOI: https://doi.org/10.4213/sm1126.
  2. Фарков Ю. А. Биортогональные диадические вейвлеты на полупрямой // УМН. 2007. Т. 62, № 6(378). С. 189–190. DOI: https://doi.org/10.4213/rm8541.
  3. Протасов В. Ю. Аппроксимация диадическими всплесками // Матем. сб. 2007. Т. 198, № 11. С. 135–152. DOI: https://doi.org/10.4213/sm1981.
  4. Фарков Ю. А. Ортогональные вейвлеты с компактными носителями на локально компактных Абелевых группах // Изв. РАН. Сер. матем. 2005. Т. 69, вып. 3. С. 193–220. DOI: https://doi.org/10.4213/im644.
  5. Фарков Ю. А. Ортогональные вейвлеты на прямых произведениях циклических групп // Матем. заметки. 2007. Т. 82, вып. 6. С. 934–952. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm4181.
  6. Лукомский С. Ф. Кратномасштабный анализ на нульмерных группах и всплесковые базисы // Матем. сб. 2010. Т. 201, № 5. С. 41–65. DOI: https://doi.org/10.4213/sm7580.
  7. Lukomskii S. F. Step Refinable Functions and Orthogonal MRA on Vilenkin Groups // J. Fourier Anal. Appl. 2014. Vol. 20, iss. 1. P. 42–65. DOI: https://doi.org/10.1007/s00041-013-9301-6.
  8. Лукомский С. Ф. Кратномасштабный анализ Рисса на группах Виленкина // Докл. АН. 2014. Т. 457, № 1. С. 24–27. DOI: https://doi.org/10.7868/S0869565214190086.
  9. Лукомский С. Ф. Кратномасштабный анализ Рисса на нульмерных группах // Изв. РАН. Сер. матем. 2015. Т. 79, вып. 1. С. 153–184. DOI: https://doi.org/10.4213/im8181.
  10. Lukomskii S. F., Berdnikov G. S. N-Valid trees in wavelet theory on Vilenkin groups // Int. J. Wavelets Multiresolut Inf. Process. 2015. Vol. 13, iss. 5, 1550037. 23 p. DOI: https://doi.org/10.1142/S021969131550037X.
  11. Бердников Г. С., Лукомский С. Ф., Крусс Ю. С. Об ортогональности системы сдвигов масштаби- рующей функции на группах Виленкина // Ма- тем. заметки. 2015. Т. 98, № 2. С. 310–313. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm10664.
Поступила в редакцию: 
23.07.2016
Принята к публикации: 
20.10.2016
Опубликована: 
30.11.2016