Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Ковалёв В. А., Радаев Ю. Н. Математические модели и современные физические теории поля // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9, вып. 4. С. 41-94. DOI: 10.18500/1816-9791-2009-9-4-2-41-94

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
23.12.2009
Полный текст:
(downloads: 99)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
УДК: 
514.774.2:517.972/.974:539.3

Математические модели и современные физические теории поля

Авторы: 
Ковалёв Владимир Александрович, Московский городской университет управления Правительства Москвы
Радаев Юрий Николаевич, Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского Российской академии наук
Аннотация: 

Работа посвящена основам современной теории поля. Вводятся базовые понятия и определения теории поля в 4-мерном пространстве - времени и развивается лагранжев формализм в самом его сложном варианте, связанный с принципом наименьшего действия Гамильтона и возможностью вариационного описания поля с помощью указанного принципа. Развивается теория геометрических и обобщенных вариационных симметрий и приводится вывод законов сохранения (включая ряд их новых форм) на основе геометрических вариационных симметрий действия. На основе канонических тензорных характеристик поля, определяемых с помощью групп геометрических симметрий действия, найден ряд новых форм первой вариации интеграла действия. Приводится полная теория лагранжиана пустого пространства (нулевого лагранжиана) для пространственно временного многообразия произвольной размерности. С помощью дивергентного представления лагранжиана пустого пространства для звездообразной области получено его общее выражение, содержащее градиенты поля порядка не выше первого. Показано, что в случае трехкомпонентного поля в трехмерном пространстве нулевой лагранжиан может содержать в общей сложности 15 независимых элементов. Исследован также случай, когда лагранжиан пустого пространства не зависит от сдвигов физических полевых величин. Заключительная часть работы содержит полное изложение теоретико-группового формализма, связанного с современной теорией поля.

Список источников: 
  1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: В 2 т. Т. I. Механика. М.: Наука, 1973. 208 с.
  2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: В 2 т. Т. II. Теория поля. М.: Наука, 1973. 504 с.
  3. Noether E. Invariante Variationsprobleme // Kgl. Ges. Wiss. Nachr. Gottingen. Math.-Physik. Kl. 2. 1918. S. 235–257.
  4. Радаев Ю.Н., Гудков В.А. О вычислении нулевых Лагранжианов нелинейно упругого поля // Вестн. Самар. гос. ун-та. Естественно-науч. сер. 2002. Спец. вып. С. 39–56.
  5. Maugin G.A. Material Inhomogeneities in Elasticity. L.: Chapman & Hall, 1993. 276 p.
  6. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448 с.
  7. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики: В 2 т. Т. 1. М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1933. 528 с.
  8. Courant R., Hilbert D. Methods of Mathematical Physics. Vol. 1. N.Y.: Interscience Publishers, 1953. 562 p. (Пер. на рус. яз. см. [6]).
  9. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. 228 с.
  10. Gelfand I.M., Fomin S.V. Calculus of Variations. (Revised English ed. Translated and edited by R.A. Silverman.) Englewood Cliffs, New Jersey: PrenticeHall, 1963. 232 p. (Оригинальное издание см. [9]).
  11. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.
  12. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 с.
  13. Olver P.J. Application of Lie Groups to Differential Equations. N.Y.: Springer, 1986. (Пер. на рус. яз. см. [14]).
  14. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М: Мир, 1989. 639 с.
  15. Olver P.J. Equivalence, Invariants and Symmetry. Cambridge; N.Y.; Melbourne: Cambridge University Press, 1995. 526 p.
  16. Эйнштейн А. Собрание научных трудов: В 4 т. Т. 1. Работы по теории относительности. М.: Наука, 1965. 700 с.
  17. Дирак П.А.М. Общая теория относительности. М.: Атомиздат, 1978. 64 с.
  18. Truesdell C., Toupin R.A. The Classical Field Theories/ Principles of Classical Mechanics and Field Theory. Encyclopedia of Physics, V.III/1 (ed. S. Flugge). Berlin: Springer, 1960. P. 226–793.
  19. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
  20. Silhavy M. The Mechanics and Thermodynamics of Continuous Media. Berlin; Heidelberg; N.Y.: SpringerVerlag, 1997. 506 p.
  21. Bessel-Hagen E. Uber die Erhaultungssatze der Elektrodynamik // Math. Ann. 1921. V. 84. P. 258–276.
  22. Меллер К. Теория относительности. М.: Атомиздат, 1975. 400 с.
  23. Maugin G.A. Material forces: Concepts and applications// Applied Mechanics Reviews. 1995. V. 48. P. 213–245.
  24. Piola G. Nuovo analisi per tutti le questioni della meccanica moleculare// Mem. Mat. Fis. Soc. Ital. Modena. 1835. V. 21. P. 155–321.
  25. Piola G. Intorno alle equazioni fondamentali del movimento di corpi qualsivoglioni considerati secondo la naturale loro forma e costituva// Mem. Mat. Fis. Soc. Ital. Modena. 1848. V. 24(1). P. 1–186.
  26. Eshelby J.D. The Force on an Elastic Singularity// Phil. Trans. Roy. Soc. L., 1951. V. A244. P. 87–112.
  27. Шварц Л. Анализ: В 2 т. М.: Мир, 1972. Т. II. 528 с.
  28. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971. 392 с.
  29. Мак-Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматгиз, 1963. 412 с.