Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


For citation:

Митрохин С. И. Многоточечные дифференциальные операторы: «расщепление» кратных в главном собственных значений // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 1. С. 5-18. DOI: 10.18500/1816-9791-2017-17-1-5-18

Опубликована онлайн: 
22.02.2017
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
DOI: 
10.18500/1816-9791-2017-17-1-5-18
УДК: 
517.926

Многоточечные дифференциальные операторы: «расщепление» кратных в главном собственных значений

Авторы: 
Митрохин Сергей Иванович, Научно-исследовательский вычислительный центр Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова
Аннотация: 

В статье изучается краевая задача для дифференциального оператора восьмого порядка с суммируемым потенциалом. Граничные условия краевой задачи являются многоточечными. Выведено интегральное уравнение для решений дифференциального уравнения, задающего изучаемый дифференциальный оператор. Получены асимптотические формулы и оценки для решений соответствующего дифференциального уравнения при больших значениях спектрального параметра. Изучая граничные условия, выведено уравнение на собственные значения в виде определителя четвёртого порядка. С помощью свойств определителей и асимптотических формул для решений дифференциального уравнения изучается асимптотическое поведение корней уравнения на собственные значения оператора. Коэффициенты граничных условий изучаемой краевой задачи подобраны таким образом, что основное приближение уравнения на собственные значения оператора имеет два корня кратности три. Подробно изучена индикаторная диаграмма уравнения на собственные значения. Изучая один из секторов индикаторной диаграммы, выведена асимптотика собственных значений изучаемого оператора. Показано, что кратные в главном приближении собственные значения «расщепляются» на три однократных серии собственных значений. Аналогичные свойства собственных значений наблюдаются и в остальных секторах индикаторной диаграммы.

Библиографический список: 
  1. Birkhoff G. D. On the asymptotic character of the solutions of the certain linear differential equations containing parameter // Trans. Amer. Math. Soc. 1908. Vol. 9. P. 219–231.
  2. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград : тип. М. П. Фроловой, 1917. 308 с.
  3. Федорюк М. В. Асимптотика решений обыкновенных линейных дифференециальных уравнений n-го порядка // Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2, № 4. С. 492–507.
  4. Гелъфанд И. М., Левитан Б. М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка // Докл. АН СССР. 1953. Т. 88. С. 593–596.
  5. Левитан Б. М., Гасымов М. Г. Определение дифференциального оператора по двум спектрам // УМН. 1964. Т. 19, вып. 2(116). С. 3–63.
  6. Лидский В. Б., Садовничий В. А. Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций // Матем. сб. 1968. Т. 75(117), № 4. С. 558–566.
  7. Ильин В. А. О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора // Матем. заметки. 1977. Т. 22, вып. 5. С. 679–698.
  8. Митрохин С. И. О формулах регуляризованных следов для дифференциальных операторов второго порядка с разрывными коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Сер.: матем., мех. 1986. № 6. С. 3–6.
  9. Hald O. H. Discontinuous inverse eigenvalue problems // Commun. Pure Appl. Math. 1984. Vol. 37, iss. 5. P. 539–577. DOI: https://doi.org/10.1002/cpa.3160370502.
  10. Митрохин С. И. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией // Докл. АН. 1997. Т. 356, № 1. С. 13– 15.
  11. Gottlieb H. P. W. Iso-spectral operators : some model examples with discontinuous coefficients // J. Math. Anal. and Appl. 1988. Vol. 132. P. 123–137.
  12. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма—Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 10. С. 1423–1426.
  13. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма – Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Изв. РАН. Сер. матем. 2000. Т. 64, вып. 4. С. 47–108. DOI: https://doi.org/10.4213/im295.
  14. Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвёртого порядка с суммируемыми коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Сер.: матем., мех. 2009. № 3. С. 14–17.
  15. Митрохин С. И. О спектральных свойствах одного дифференциального оператора с суммируемыми коэффициентами с запаздывающим аргументом // Уфимск. матем. журн. 2011. Т. 3, № 4. С. 95–115.
  16. Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциального оператора с суммируемым потенциалом и гладкой весовой функцией // Вестн. СамГУ. Естественнонауч. сер. 2008. № 8/1(67). С. 172–187.
  17. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М. : Наука, 1969. 528 с.
  18. Марченко В. А. Спектральная теория операторов Штурма – Лиувилля. Киев : Наук. думка, 1977. 329 с. 
  19. Лундина Д. Ш. Точная зависимость между асимптотическими разложениями собственных значений краевых задач Штурма—Лиувилля и гладкостью потенциала // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1982. № 37. С. 74–101.
  20. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения. М. : Мир, 1967. 548 с.
  21. Садовничий В. А., Любишкин В. А. О некоторых новых результатах теории регуляризованных следов дифференциальных операторов // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 1. С. 109–116.
  22. Митрохин С. И. О «расщеплении» кратных в главном собственных значений многоточечных краевых задач // Изв. вузов. Матем. 1997. № 3(418). С. 38–43. 
Полный текст в формате PDF:
(downloads: 18)