Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Симонов Б. В., Симонова И. Э., Иванюк В. А. Неравенство Коляды для частных модулей гладкости функций с лакунарными коэффициентами Фурье // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2022. Т. 22, вып. 4. С. 447-457. DOI: 10.18500/1816-9791-2022-22-4-447-457

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
30.11.2022
Полный текст:
(downloads: 152)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.5
EDN: 
XVDVNQ

Неравенство Коляды для частных модулей гладкости функций с лакунарными коэффициентами Фурье

Авторы: 
Симонов Борис Витальевич, Волгоградский государственный технический университет
Симонова Ирина Эдуардовна, Волгоградский государственный технический университет
Иванюк Вера Алексеевна, Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации
Аннотация: 

Хорошо известна проблема оценивания модулей гладкости функций из $L_q$ в терминах модулей гладкости из $L_p$.  Начальным этапом оценивания модулей гладкости стало изучение свойств функций из классов Липшица и получение соответствующих вложений в работах Титчмарша, Харди, Литтлвуда, Никольского. П. Л. Ульянов для модулей непрерывности функций одной переменной доказал неравенство, позже названное его именем — «неравенство Ульянова». Из этого неравенства, как следствие, получается классическое вложение Харди — Литтлвуда для пространств Липшица. Неравенство Ульянова точно в шкале классов $H_p^\omega$. В. И. Коляда показал, что это неравенство может быть усилено. Его усилением является неравенство Коляды. Оно находит применение при исследовании некоторых максимальных функций, измеряющих локальную гладкость. Неравенство Коляды точно в том смысле, что существует функция с любым заданным порядком модуля непрерывности в $L_q$, для которой эту оценку ни при одном значении $\delta$ улучшить нельзя. Неравенство Коляды было распространено на модули гладкости высших (натуральных) порядков Ю. В. Нетрусовым и М. Л. Гольдманом. У. Требельз распространил неравенство Коляды на модули гладкости положительного порядка.  В настоящей статье изучаются частные модули гладкости функций двух переменных. Получены неравенства, распространяющие неравенство Коляды на частные модули гладкости в смешанной норме для функций с лакунарными коэффициентами Фурье. Построены функции, для которых неравенство Коляды для частных модулей гладкости функций с лакунарными коэффициентами Фурье имеют разные порядки, как функции $\delta$. Тем самым показано, что полученные оценки точны в определенном смысле. В статье также доказаны некоторые специфические свойства частных модулей гладкости функций с лакунарными коэффициентами Фурье в пространствах Лебега со смешанной нормой.

Список источников: 
  1. Ульянов П. Л. Вложение некоторых классов функций $H_p^\omega$ // Известия Академии наук СССР. Серия математическая. 1968. Т. 32, вып. 3. С. 649–686.
  2. Ульянов П. Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках // Математический сборник. 1970. Т. 81 (123), вып. 1. С. 104–131.
  3. Коляда В. И. О соотношениях между модулями непрерывности в разных метриках // Труды Математического института Академии наук СССР. 1988. Т. 181. С. 117–136.
  4. Нетрусов Ю. В. Теоремы вложения пространств $H_p^{\omega, k}$ и $ H_p^{s,\omega, k}$ // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1987. Т. 159. С. 83–102.
  5. Гольдман М. Л. Критерий вложений разных метрик для изотропных пространств Бесова с произвольными модулями непрерывности // Труды Математического института РАН. 1992. Т. 201. С. 186–218.
  6. Trebels W. Inequalities for moduli of smoothness versus embeddings of function spaces // Archiv der Mathematik. 2010. Vol. 94. P. 155–164. https://doi.org/10.1007/s00013-009-0078-4
  7. Потапов М. К., Симонов Б. В., Тихонов С. Ю. Дробные модули гладкости. Москва : МАКС-Пресс, 2016. 337 с.
  8. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. Москва : Наука, 1975. 480 с.
  9. Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. Москва : Изд-во иностранной литературы, 1948. 456 с.
  10. Потапов М. К., Симонов Б. В. Свойства смешанных модулей гладкости функций с лакунарными коэффициентами // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2014. Вып. 1. С. 6–17.
Поступила в редакцию: 
28.03.2022
Принята к публикации: 
12.05.2022
Опубликована: 
30.11.2022