Для цитирования:
Симонов Б. В., Симонова И. Э., Иванюк В. А. Неравенство Коляды для частных модулей гладкости функций с лакунарными коэффициентами Фурье // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2022. Т. 22, вып. 4. С. 447-457. DOI: 10.18500/1816-9791-2022-22-4-447-457, EDN: XVDVNQ
Неравенство Коляды для частных модулей гладкости функций с лакунарными коэффициентами Фурье
Хорошо известна проблема оценивания модулей гладкости функций из Lq в терминах модулей гладкости из Lp. Начальным этапом оценивания модулей гладкости стало изучение свойств функций из классов Липшица и получение соответствующих вложений в работах Титчмарша, Харди, Литтлвуда, Никольского. П. Л. Ульянов для модулей непрерывности функций одной переменной доказал неравенство, позже названное его именем — «неравенство Ульянова». Из этого неравенства, как следствие, получается классическое вложение Харди — Литтлвуда для пространств Липшица. Неравенство Ульянова точно в шкале классов Hωp. В. И. Коляда показал, что это неравенство может быть усилено. Его усилением является неравенство Коляды. Оно находит применение при исследовании некоторых максимальных функций, измеряющих локальную гладкость. Неравенство Коляды точно в том смысле, что существует функция с любым заданным порядком модуля непрерывности в Lq, для которой эту оценку ни при одном значении δ улучшить нельзя. Неравенство Коляды было распространено на модули гладкости высших (натуральных) порядков Ю. В. Нетрусовым и М. Л. Гольдманом. У. Требельз распространил неравенство Коляды на модули гладкости положительного порядка. В настоящей статье изучаются частные модули гладкости функций двух переменных. Получены неравенства, распространяющие неравенство Коляды на частные модули гладкости в смешанной норме для функций с лакунарными коэффициентами Фурье. Построены функции, для которых неравенство Коляды для частных модулей гладкости функций с лакунарными коэффициентами Фурье имеют разные порядки, как функции δ. Тем самым показано, что полученные оценки точны в определенном смысле. В статье также доказаны некоторые специфические свойства частных модулей гладкости функций с лакунарными коэффициентами Фурье в пространствах Лебега со смешанной нормой.
- Ульянов П. Л. Вложение некоторых классов функций Hωp // Известия Академии наук СССР. Серия математическая. 1968. Т. 32, вып. 3. С. 649–686.
- Ульянов П. Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках // Математический сборник. 1970. Т. 81 (123), вып. 1. С. 104–131.
- Коляда В. И. О соотношениях между модулями непрерывности в разных метриках // Труды Математического института Академии наук СССР. 1988. Т. 181. С. 117–136.
- Нетрусов Ю. В. Теоремы вложения пространств Hω,kp и Hs,ω,kp // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1987. Т. 159. С. 83–102.
- Гольдман М. Л. Критерий вложений разных метрик для изотропных пространств Бесова с произвольными модулями непрерывности // Труды Математического института РАН. 1992. Т. 201. С. 186–218.
- Trebels W. Inequalities for moduli of smoothness versus embeddings of function spaces // Archiv der Mathematik. 2010. Vol. 94. P. 155–164. https://doi.org/10.1007/s00013-009-0078-4
- Потапов М. К., Симонов Б. В., Тихонов С. Ю. Дробные модули гладкости. Москва : МАКС-Пресс, 2016. 337 с.
- Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. Москва : Наука, 1975. 480 с.
- Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. Москва : Изд-во иностранной литературы, 1948. 456 с.
- Потапов М. К., Симонов Б. В. Свойства смешанных модулей гладкости функций с лакунарными коэффициентами // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2014. Вып. 1. С. 6–17.
- 1644 просмотра