Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Dukhnovsky S. A. New exact solutions for the two-dimensional Broadwell system [Духновский С. А. Новые точные решения для двумерной системы Бродуэлла] // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2022. Т. 22, вып. 1. С. 4-14. DOI: 10.18500/1816-9791-2022-22-1-4-14, EDN: KHEQHS


Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
31.03.2022
Полный текст:
(downloads: 1879)
Язык публикации: 
английский
Рубрика: 
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.951
EDN: 
KHEQHS

New exact solutions for the two-dimensional Broadwell system
[Новые точные решения для двумерной системы Бродуэлла]

Авторы: 
Духновский Сергей Анатольевич, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет
Аннотация: 

В  статье  рассмотрена дискретная кинетическая система Бродуэлла. Данная система является нелинейной гиперболической системой уравнений в частных производных. Двумерная система Бродуэлла представляет собой кинетическое уравнение Больцмана, и для этой модели импульс и энергия сохраняются. В кинетической теории газов система описывает движение частиц  на двумерной плоскости, при этом правая часть системы отвечает за парные столкновения частиц. Впервые новые решения бегущей волны найдены с использованием метода $\exp(- \varphi(\xi)) $-разложения. Данные метод состоит в следующем. Решение ищется в виде бегущей волны. В этом случае система сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Далее решение ищется согласно данному методу в виде полинома по экспонентам (сумма ряда), зависящего от неизвестной функции, которая удовлетворяет определенному дифференциальному уравнению. При этом известны сами решения дифференциального уравнения. Суммирование ведется до конкретного положительного числа, которое определяется посредством баланса между наивысшими линейными и нелинейными членами. Далее предполагаемое решение подставляется в систему дифференциальных уравнений и собираются коэффициенты при одинаковых степенях экспонент. Решая системы алгебраических уравнений, мы находим неизвестные коэффициенты и записываем исходное решение. Данный метод является универсальным и позволяет  получить большое число решений, а именно кинковые, сингулярные кинковые, периодические и рациональные решения. Соответствующие графики некоторых решений представлены посредством пакета «Математика». С помощью компьютерных символьных вычислений  получены новые решения. Аналогичным образом можно найти точные решения для других кинетических моделей. 

Список источников: 
  1. Radkevich E. V. On the large-time behavior of solutions to the Cauchy problem for a 2-dimensional discrete kinetic equation. Journal of Mathematical Sciences, 2014, vol. 202, no. 5, pp. 735–768. https://doi.org/10.1007/s10958-014-2074-x
  2. Godunov S. K., Sultangazin U. M. On discrete models of the kinetic Boltzmann equation. Russian Mathematical Surveys, 1971, vol. 26, no. 3, pp. 1–56. https://doi.org/10.1070/RM1971v026n03ABEH003822
  3. Wazwaz A. M. A sine-cosine method for handing nonlinear wave equations. Mathematical and Computer Modelling, 2004, vol. 40, iss. 5–6, pp. 499–508. https://doi.org/10.1016/j.mcm.2003.12.010
  4. Wazwaz A. M. The tanh and the sine-cosine methods for the complex modified KdV and the generalized KdV equations. Computers and Mathematics with Applications, 2005, vol. 49, iss. 7–8, pp. 1101–1112. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2004.08.013
  5. Alam M. N., Alam M. M. An analytical method for solving exact solutions of a nonlinear evolution equation describing the dynamics of ionic currents along microtubules. Journal of Taibah University for Science, 2017, vol. 11, iss. 6, pp. 939–948. https://doi.org/10.1016/j.jtusci.2016.11.004
  6. Jafari H., Kadkhoda N., Biswas A. The G′/G-expansion method for solutions of evolution equations from isothermal magnetostatic atmospheres. Journal of King Saud University — Science, 2013, vol. 25, iss. 1, pp. 57–62. https://doi.org/10.1016/j.jksus.2012.02.002
  7. Alam M. N., Akbar M. A., Mohyud-Din S. T. General traveling wave solutions of the strain wave equation in microstructured solids via the new approach of generalized G′/G- expansion method. Alexandria Engineering Journal, 2014, vol. 53, iss. 1, pp. 233–241. https://doi.org/10.1016/j.aej.2014.01.002
  8. Fan E., Zhang H. A note on the homogeneous balance method. Physics Letters A, 1998, vol. 246, iss. 5, pp. 403–406. https://doi.org/10.1016/S0375-9601(98)00547-7
  9. Bai C. L. Extended homogeneous balance method and Lax pairs, Backlund transformation. Communications in Theoretical Physics, 2002, vol. 37, no. 6, pp. 645–648. https://doi.org/10.1088/0253-6102/37/6/645
  10. Alharbi A. R., Almatrafi M. B. New exact and numerical solutions with their stability for Ito integro-differential equation via Riccati–Bernoulli sub-ODE method. Journal of Taibah University for Science, 2020, vol. 14, iss. 1, pp. 1447–1456. https://doi.org/10.1080/16583655.2020.1827853
  11. Yang X. F., Deng Z. C., Wei Y. A Riccati–Bernoulli sub-ODE method for nonlinear partial differential equations and its application. Advances in Continuous and Discrete Models, 2015, vol. 2015, no. 117, pp. 1–17. https://doi.org/10.1186/s13662-015-0452-4
  12. Alquran M., Jarrah A. Jacobi elliptic function solutions for a two-mode KdV equation. Journal of King Saud University — Science, 2019, vol. 31, iss. 4, pp. 485–489. https://doi.org/10.1016/j.jksus.2017.06.010
  13. Zhang W. The extended tanh method and the exp-function method to solve a kind of nonlinear heat equation. Mathematical Problems in Engineering, vol. 2010, Article ID 935873, 12 p. https://doi.org/10.1155/2010/935873
  14. He J. H., Wu X. H. Exp-function method for nonlinear wave equations. Chaos, Solitons & Fractals, 2006, vol. 30, iss. 3, pp. 700–708. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2006.03.020
  15. Gaber A. A., Aljohani A. F., Ebaid A., Tenreiro Machado J. The generalized Kudryashov method for nonlinear space-time fractional partial differential equations of Burgers type. Nonlinear Dynamics, 2019, vol. 95, no. 3, pp. 361–368. https://doi.org/10.1007/s11071-018-4568-4
  16. Nizovtseva I. G., Galenko P. K., Alexandrov D. V., Vikharev S. V., Titova E. A., Sukhachev I. S. Traveling waves in a profile of phase field: exact analytical solutions of a hyperbolic Allen–Cahn equation. Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp’yuternye Nauki, 2016, vol. 26, no. 2, pp. 245–257 (in Russian). https://doi.org/10.20537/vm160211
  17. Tchier F., Inc M., Yusuf A. Symmetry analysis, exact solutions and numerical approximations for the space-time Carleman equation in nonlinear dynamical systems. The European Physical Journal Plus, 2019, vol. 134, no. 250, pp. 1–18. https://doi.org/10.1140/epjp/i2019-12586-1
  18. Dukhnovskii S. A. Solutions of the Carleman system via the Painleve expansion. Vladikavkaz Mathematical Journal, 2020, vol. 22, no. 4, pp. 58–67 (in Russian). https://doi.org/10.46698/s8185-4696-7282-p
  19. Lindblom O., Euler N. Solutions of discrete-velocity Boltzmann equations via Bateman and Riccati equations. Theoretical and Mathematical Physics, 2002, vol. 131, no. 2, pp. 595–608. https://doi.org/10.1023/A:1015428229008
  20. Dukhnovskii S. A. Asymptotic stability of equilibrium states for Carleman and Godunov– Sultangazin systems of equations. Moscow University Mathematics Bulletin, 2019, vol. 74, no. 6, pp. 246–248. https://doi.org/10.3103/S0027132219060068
  21. Vasil’eva O. A., Dukhnovskii S. A., Radkevich E. V. On the nature of local equilibrium in the Carleman and Godunov–Sultangazin equations. Journal of Mathematical Sciences, 2018, vol. 235, pp. 392–454. https://doi.org/10.1007/s10958-018-4080-x
Поступила в редакцию: 
16.02.2021
Принята к публикации: 
28.10.2021
Опубликована: 
31.03.2022