Для цитирования:
Севастьянов Л. А., Ловецкий К. П., Кулябов Д. С. Новый подход к формированию систем линейных алгебраических уравнений для решения обыкновенных дифференциальных уравнений методом коллокаций // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, вып. 1. С. 36-47. DOI: 10.18500/1816-9791-2023-23-1-36-47, EDN: BFDVVG
Новый подход к формированию систем линейных алгебраических уравнений для решения обыкновенных дифференциальных уравнений методом коллокаций
Реализован новый алгоритм численного решения одномерных задач Коши и уравнений Пуассона, основанный на методе коллокации и представлении решения в виде разложения по полиномам Чебышева. Предлагается вместо обычного подхода, заключающегося в слиянии всех известных условий — дифференциальных (само уравнение) и начальных/ граничных — в одну систему приближенных линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), перейти к методике решения задачи в несколько отдельных этапов. Вначале выделяются спектральные коэффициенты, определяющие «общее» решение исходной задачи. По методу коллокации определяются интерполяционные коэффициенты производной решения, а тем самым и коэффициенты разложения самого решения (кроме начальных). На этом этапе выбор удачного базиса, обладающего дискретной ортогональностью, дает возможность применения весьма эффективных алгоритмов поиска искомых коэффициентов. Трудоемкость приведения матрицы СЛАУ к диагональной форме становится эквивалентной сложности умножения чебышевской матрицы коэффициентов на вектор правой части системы. Затем коэффициенты разложения самого решения (кроме первых одного--двух) получаются с помощью умножения известной трехдиагональной матрицы интегрирования (обратной по отношению к матрице дифференцирования Чебышева) на вектор интерполяционных коэффициентов производной. На последнем этапе учет начальных/граничных условий выделяет «частное» искомое решение, однозначно доопределяя недостающие коэффициенты искомого разложения.
- Boyd J. P. Chebyshev and Fourier Spectral Methods: Second Revised Edition. Dover Books on Mathematics, 2013. 668 p.
- Mason J. C., Handscomb D. C. Chebyshev Polynomials. Chapman and Hall/CRC Press, 2002. 360 p. https://doi.org/10.1201/9781420036114
- Fornberg B. A Practical Guide to Pseudospectral Methods. New York : Cambridge University Press, 1996. 231 p. https://doi.org/10.1017/CBO9780511626357
- Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T., Flannery B. P. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. 3rd ed. New York : Cambridge University Press, 2007. 1235 p.
- Shen J., Tang T., Wang L.-L. Spectral Methods: Algorithms, Analysis and Applications. Berlin ; Heidelberg : Springer, 2011. 472 p. (Springer Series in Computational Mathematics, vol. 41). https://doi.org/10.1007/978-3-540-71041-7
- Olver S., Townsend A. A Fast and Well-Conditioned Spectral Method // SIAM Review. 2013. Vol. 55, iss. 3. P. 462–489. https://doi.org/10.1137/120865458
- Chandrasekaran S., Gu M. Fast and Stable Algorithms for Banded Plus Semiseparable Systems of Linear Equations // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 2003. Vol. 25, iss. 2. P. 373–384. https://doi.org/10.1137/S0895479899353373
- Amiraslani A., Corless R. M., Gunasingam M. Differentiation matrices for univariate polynomials // Numerical Algorithms. 2020. Vol. 83, iss. 1. P. 1–31. https://doi.org/10.1007/s11075-019-00668-z
- Zhang X., Boyd J. P. Asymptotic coefficients and errors for Chebyshev polynomial approximations with weak endpoint singularities: Effects of different bases // Science China Mathematics. 2023. Vol. 66, iss. 1. P. 191–220. https://doi.org/10.1007/s11425-021-1974-x
- Boyd J. P., Gally D. H. Numerical experiments on the accuracy of the Chebyshev – Frobenius companion matrix method for finding the zeros of a truncated series of Chebyshev polynomials // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2007. Vol. 205, iss. 1. P. 281–295. https://doi.org/10.1016/j.cam.2006.05.006
- Dutykh D. A Brief Introduction to Pseudo-spectral Methods: Application to Diffusion Problems. 2019. 55 p. URL: https://arxiv.org/pdf/1606.05432 (дата обращения: 30.05.2022).
- Dawkins P. Differential Equations. 2018. 524 p. URL: https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/DE.aspx (дата обращения: 30.05.2022).
- 915 просмотров