Для цитирования:
Халилов Э. Г. О приближенном решении одного класса слабо сингулярных интегральных уравнений // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2020. Т. 20, вып. 3. С. 310-325. DOI: 10.18500/1816-9791-2020-20-3-310-325, EDN: XVVVZH
О приближенном решении одного класса слабо сингулярных интегральных уравнений
Работа посвящена исследованию решения одного класса слабо сингулярных поверхностных интегральных уравнений второго рода. Сначала дается разбиение поверхности Ляпунова на «регулярные» элементарные части, а затем в опорных точках строится кубатурная формула для одного класса слабо сингулярных поверхностных интегралов. Используя построенную кубатурную формулу, рассматриваемое интегральное уравнение заменяется системой алгебраических уравнений. В результате при дополнительно налагаемых условиях на ядро интеграла доказывается, что рассматриваемое интегральное уравнение и полученная система алгебраических уравнений имеют единственные решения, причем решение системы алгебраических уравнений сходится к значению решения интегрального уравнения в опорных точках. Кроме того, используя эти результаты, дано обоснование метода коллокации для различных интегральных уравнений внешней краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца.
- Abdullayev F. A., Khalilov E. H. Constructive method for solving the external Neumann boundary-value problem for the Helmholtz equation // Proceedings of IMM of NAS of Azerbaijan. 2018. Vol. 44, № 1. P. 62–69.
- Bremer J., Gimbutas Z. A Nystrom method for weakly singular integral operators on surfaces // J. Comput. Phys. 2012. Vol. 231, № 14. P. 4885–4903. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jcp.2012.04.003
- Gonzalez O., Li J. A convergence theorem for a class of Nystr¨om methods for weakly singular integral equations on surfaces in R3 // Mathematics of Computation. 2015. Vol. 84, № 292. P. 675–714.
- Graham I. G., Sloan I. H. Fully discrete spectral boundary integral methods for Helmholtz problems on smooth closed surfaces in R3 // Numer. Math. 2002. Vol. 92, iss. 2. P. 289– 323. DOI: https://doi.org/10.1007/s002110100343
- Harris P. J., Chen K. On efficient preconditioners for iterative solution of a Galerkin boundary element equation for the three-dimensional exterior Helmholtz problem // J. Comput. Appl. Math. 2003. Vol. 156, iss. 2. P. 303–318. DOI: https://doi.org/10.1016/S0377-0427(02)00918-4
- Kress R. Boundary integral equations in time-harmonic acoustic scattering // Math. Comput. Modelling. 1991. Vol. 15, iss. 3–5. P. 229–243. DOI: https://doi.org/10.1016/0895-7177(91)90068-I
- Cai T. A fast solver for a hypersingular boundary integral equation // Appl. Numer. Math. 2009. Vol. 59. P.1960–1969. DOI: https://doi.org/10.1016/j.apnum.2009.02.005
- Farina L., Martinc P. A., P´eron V. Hypersingular integral equations over a disc: Convergence of a spectral method and connection with Tranter’s method // J. Comput. Appl. Math. 2014. Vol. 269. P. 118–131. DOI: https://doi.org/10.1016/j.cam.2014.03.014
- Халилов Э. Г. Конструктивный метод решения краевой задачи для уравнения Гельмгольца с импедансным условием // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54, № 4. С. 544– 555. DOI: https://doi.org/10.1134/S0374064118040106
- Kress R. A collocation method for a hypersingular boundary integral equation via trigonometric differentiation // J. Integral Equations Applications. 2014. Vol. 26, № 2. P. 197–213. DOI: https://doi.org/10.1216/JIE-2014-26-2-19
- Лифанов И. К., Ставцев С. Л. Интегральные уравнения и распространение звука в мелком море // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 9. С. 1256–1270.
- Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М. : Наука, 1976. 527 с.
- Вайникко Г. М. Регулярная сходимость операторов и приближенное решение уравнений // Итоги науки и техники. Сер. Мат. анализ. Т. 16. М. : ВИНИТИ, 1979. С. 5–53.
- Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М. : Мир, 1987. 311 с.
- Халилов Э. Г. Некоторые свойства оператора, порожденного производной акустического потенциала двойного слоя // Сиб. матем. журн. 2014. Т. 55, № 3. С. 690–700.
- 1221 просмотр