Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


For citation:

Гаджимирзаев Р. М. О равномерной сходимости ряда Фурье по системе полиномов, порожденной системой полиномов Лагерра // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2020. Т. 20, вып. 4. С. 416-423. DOI: 10.18500/1816-9791-2020-20-4-416-423

Опубликована онлайн: 
30.11.2020
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
DOI: 
10.18500/1816-9791-2020-20-4-416-423
УДК: 
517.521.2

О равномерной сходимости ряда Фурье по системе полиномов, порожденной системой полиномов Лагерра

Авторы: 
Гаджимирзаев Рамис Махмудович, Дагестанский научный центр РАН
Аннотация: 

Пусть w(x) — лагерровская весовая функция, 1 ≤ p < ∞, Lpw — пространство функций f, p-я степень модуля которых интегрируема с весом w(x) на неотрицательной оси. Для заданного натурального числа r обозначим через WrLpw пространство Соболева, которое состоит из r − 1 раз непрерывно дифференцируемых функций f, для которых (r − 1)-я производная абсолютно непрерывна на произвольном сегменте [a, b] неотрицательной оси, а r-я производная принадлежит пространству Lpw. В случае, когда p = 2, введем в пространстве WrL2w скалярное произведение типа Соболева, которое превращает его в гильбертово пространство. Далее, через lαr,n(x) (n = r, r + 1, ...) обозначим полиномы, порожденные классическими полиномами Лагерра. Эти полиномы вместе с функциями вида lαr,n(x) = xn / n!  (n = 0, 1, ..., r − 1) образуют полную и ортонормированную систему в пространстве WrL2w . В настоящей статье рассматривается задача о равномерной сходимости на любом отрезке [0,A] ряда Фурье по этой системе полиномов к функциям из пространства Соболева WrLpw. Ранее равномерная сходимость была установлена для p = 2. В данной работе доказывается, что равномерная сходимость ряда Фурье имеет место при p > 2 и отсутствует при 1 ≤ p < 2. Доказательство равномерной сходимости ряда Фурье для случая p > 2 основано на вложении пространств WrLpw , p > 2, в WrL2w. Расходимость ряда Фурье при 1 ≤ p < 2 установлена на примере функции ecx с помощью асимптотики полиномов Лагерра.

Библиографический список: 
  1. P´erez T. E., Pi˜nar M. A., Xu Y. Weighted Sobolev orthogonal polynomials on the unit ball // J. Approx. Theory. 2013. Vol. 171. P. 84–104. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jat.2013.03.004
  2. Marcell ´an F., Xu Y. On Sobolev orthogonal polynomials // Expositiones Math. 2015. Vol. 33, iss. 3. P. 308–352. DOI: https://doi.org/10.1016/j.exmath.2014.10.002
  3. Fern´andez L., Marcell ´an F., P´erez T. E., Pi˜nar M. A., Xu Y. Sobolev orthogonal polynomials on product domains // J. Comput. and Appl. Math. 2015. Vol. 284. P. 202–215. DOI: https://doi.org/10.1016/j.cam.2014.09.015
  4. Delgado A. M., Fernandez L., Lubinsky D. S., P´erez T. E., Pi˜nar M. A. Sobolev orthogonal polynomials on the unit ball via outward normal derivatives // J. Math. Anal. and Appl. 2016. Vol. 440, iss. 2. P. 716–740. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2016.03.041
  5. Шарапудинов И. И. Системы функций, ортогональные по Соболеву, ассоциированные с ортогональной системой // Изв. РАН. Сер. матем. 2018. Т. 82, вып. 1. С. 225–258. DOI: https://doi.org/10.4213/im8536
  6. Магомед-Касумов М. Г. Система функций, ортогональная в смысле Соболева и порожденная системой Уолша // Матем. заметки. 2019. Т. 105, вып. 4. С. 545–552. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm12069
  7. Шарапудинов И. И., Гаджиева З. Д., Гаджимирзаев Р. М. Системы функций, ортогональных относительно скалярных произведений типа Соболева с дискретными массами, порожденных классическими ортогональными системами // Дагестанские электронные математические известия. 2016. Вып. 6. С. 31–60. DOI: https://doi.org/10.31029/demr.6.3
  8. Шарапудинов И. И., Магомед-Касумов М. Г. О представлении решения задачи Коши рядом Фурье по полиномам, ортогональным по Соболеву, порожденным многочленами Лагерра // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54, № 1. С. 51–68. DOI: https://doi.org/10.1134/S0374064118010065
  9. Гаджимирзаев Р. М. Рекуррентные соотношения для полиномов, ортонормированных по Соболеву, порожденных полиномами Лагерра // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2018. Т. 18, вып. 1. С. 17–24. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2018-18-1-17-24
  10. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М. : Физматгиз, 1962. 500 с.
Полный текст в формате PDF:
(downloads: 17)