Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Старовойтов А. П., Кечко Е. П. О скорости сходимости аппроксимаций Эрмита – Паде экспоненциальных функций // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2021. Т. 21, вып. 2. С. 162-172. DOI: 10.18500/1816-9791-2021-21-2-162-172

Опубликована онлайн: 
31.05.2021
Полный текст:
(downloads: 11)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.538.52+517.538.53
DOI: 
10.18500/1816-9791-2021-21-2-162-172

О скорости сходимости аппроксимаций Эрмита – Паде экспоненциальных функций

Авторы: 
Старовойтов Александр Павлович, Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины
Кечко Елена Петровна, Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины
Аннотация: 
В работе изучается скорость равномерной сходимости аппроксимаций Эрмита – Паде (совместных аппроксимаций Паде) $\{\pi^j_{n,\overrightarrow{m}}(z)\}_{j=1}^k$ для набора экспоненциальных функций $\{e^{\lambda_jz}\}_{j=1}^k$, где $\{\lambda_j\}_{j=1}^k$ — различные не равные нулю комплексные числа. Исследование асимптотических свойств аппроксимаций Эрмита – Паде в общем случае является достаточно сложной задачей. Это связано с тем, что при их изучении используются в основном асимптотические методы, в частности метод перевала. Важным этапом в применении этого метода является нахождение специального перевального контура (интегральная теорема Коши позволяет выбирать контур интегрирования достаточно произвольно), по которому должно осуществляться интегрирование. При этом, как правило, приходится опираться только на интуицию. В данной работе предложен новый подход изучения асимптотических свойств аппроксимаций Эрмита – Паде, опирающийся на теорему Тейлора и эвристические соображения, лежащие в основе методов Лапласа и перевала, а также на полученный нами многомерный аналог тождества ван Россума. Доказанные теоремы обобщают и дополняют известные результаты других авторов.
Благодарности: 
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования Республики Беларусь в рамках Государственной программы научных исследований на 2016–2020 годы и при финансовой поддержке БРФФИ (проект № Ф18М-025).
Список источников: 
  1. Stahl H. Asymptotics for quadratic Hermite – Pade polynomials associated with the exponential function // Electronic Transactions on Numerical Analysis. 2002. Vol. 14. P. 195– 222.
  2. Hermite С. Sur la fonction exponentielle. Paris : Gauthier-Villars, 1874. 33 p.
  3. Никишин Е. М., Сорокин В. Н. Рациональные функции и ортогональность. Москва : Наука, 1988. 256 с.
  4. Perron O. Die Lehre von den Kettenbruchen. Leipzig ; Berlin : Teubner, 1929. 524 p.
  5. Аптекарев А. И. О сходимости рациональных аппроксимаций к набору экспонент // Вестник Московского университета. Серия 1 : Математика. Механика. 1981. № 1. С. 68–74.
  6. Braess D. On the conjecture of Meinardus on rational approximation of ex , II // Journal of Approximation Theory. 1984. Vol. 40, iss. 4. P. 375–379. https://doi.org/10.1016/0021- 9045(84)90012-1
  7. Kuijlaars A. B. J., Stahl H., Van Assche W., Wielonsky F. Type II Hermite – Pade approximation to the exponential function // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2007. Vol. 207, iss. 2. P. 227–244. https://doi.org/10.1016/j.cam.2006.10.010
  8. Kuijlaars A. B. J., Stahl H., Van Assche W., Wielonsky F. Asymptotique des approximants de Hermite – Pade quadratiques de la fonction exponentielle et problemes de Riemann – Hiebert // Comptes Rendus Mathematique. 2003. Vol. 336, iss. 11. P. 893–896. https://doi.org/10.1016/S1631-073X(03)00221-8
  9. Kuijlaars A. B. J., Van Assche W., Wielonsky F. Quadratic Hermite – Pade approximation to the exponential function: A Riemann – Hiebert approach // Constructive Approximation. 2005. Vol. 21, iss. 3. P. 351–412. https://doi.org/10.1007/s00365-004-0579-0
  10. Stahl H. Asymptotic distributions of zeros of quadratic Hermite – Pade polynomials associated with the exponential function // Constructive Approximation. 2006. Vol. 23, iss. 2. P. 121–164. https://doi.org/10.1007/s00365-005-0606-9
  11. Старовойтов А. П. Эрмитовская аппроксимация двух экспонент // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып 1, ч. 2. С. 87–91. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2013-13-1- 2-87-91
  12. Старовойтов А. П. Об асимптотике аппроксимаций Эрмита – Паде для системы функций Миттаг – Леффлера // Известия вузов. Математика. 2014. № 9. С. 59–68.
  13. Старовойтов А. П. Аппроксимации Эрмита – Паде функций Миттаг – Леффлера // Труды Математического института имени В. А. Стеклова. 2018. Т. 301. С. 241–258. https://doi.org/10.1134/S0371968518020188
  14. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей : в 2 т. Т. 1. Арифметика, алгебра, анализ. Москва : Наука, 1987. 432 с.
  15. Mahler K. Zur Approximation der Exponentialfunktion und des Logarithmus, I // Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik. 2009. Vol. 1932, iss. 166. P. 118–136. https://doi.org/10.1515/crll.1932.166.118
  16. Mahler K. Zur Approximation der Exponentialfunktion und des Logarithmus, II // Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik. 2009. Vol. 1932, iss. 166. P. 137–150. https://doi.org/10.1515/crll.1932.166.137
  17. Mahler K. Applications of some formulae by Hermite to the approximation of exponentials and logarithms // Mathematische Annalen. 1967. Vol. 168, iss. 1. P. 200–227. https://doi.org/10.1007/BF01361554
  18. Mahler K. Perfect systems // Compositio Mathematica. 1968. Vol. 19, iss. 2. P. 95–166.
  19. Chudnovsky G. V. Hermite – Pade approximations to exponential functions and elementary estimates of the measure of irrationality of π // The Riemann Problem, Complete Integrability and Arithmetic Applications : Lecture Notes in Mathematics / eds. D. V. Chudnovsky, G. V. Chudnovsky. Vol. 925. New York ; Berlin : Springer-Verlag, 1982. P. 299–322. https://doi.org/10.1007/BFb0093516
  20. Van Rossum H. Systems of orthogonal and quasi orthogonal polynomials connected with the Pade table. II // Indagationes Mathematicae (Proceedings). 1955. Vol. 58. P. 526–534. https://doi.org/10.1016/S1385-7258(55)50072-2
  21. Wielonsky F. Asymptotics of diagonal Hermite – Pade approximants to ez // Journal of Approximation Theory. 1997. Vol. 90, iss. 2. P. 283–298. https://doi.org/10.1006/jath.1996. 3081
  22. Астафьева А. В., Старовойтов А. П. Аппроксимации Эрмита – Паде экспоненциальных функций // Математический сборник. 2016. Т. 207, № 6. С. 3–26. https://doi.org/ 10.4213/sm8470
Поступила в редакцию: 
03.01.2020
Принята к публикации: 
14.05.2020
Опубликована: 
31.05.2021