Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)

Для цитирования:

Михасев Г. И., Ле Н. Д. О влиянии поверхностных напряжений и инерции на собственные низкочастотные колебания упругой ультратонкой полосы-балки // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2024. Т. 24, вып. 1. С. 86-96. DOI: 10.18500/1816-9791-2024-24-1-86-96, EDN: RKHCCU

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
01.03.2024
Полный текст:
скачать
(downloads: 165)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Механика
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
534/539
DOI: 
10.18500/1816-9791-2024-24-1-86-96
EDN: 
RKHCCU

О влиянии поверхностных напряжений и инерции на собственные низкочастотные колебания упругой ультратонкой полосы-балки

Авторы: 
Михасев Геннадий Иванович, Харбинский политехнический университет
Ле Нгуен Динь, Белорусский государственный университет
Аннотация: 

Выведено дифференциальное уравнение, описывающее свободные длинноволновые колебания низкоразмерной упругой изотропной полосы-балки с учетом  эффектов на свободных поверхностях.   Граничные условия на внешних поверхностях формулируются в рамках  теории упругости Гуртина – Мурдоха, которая учитывает поверхностные инерцию и  касательные напряжения, включая остаточные. Вводятся дополнительные геометрические размеры, ассоциированные с лицевыми поверхностями, которые предполагаются малыми по сравнению с основным геометрическим размером — длиной волны. В качестве основного малого параметра рассматривается отношение толщины ультратонкой полосы к длине волны изгибных колебаний. Методом асимптотического интегрирования двухмерных  уравнений теории упругости  по толщине полосы-балки в явном виде получены соотношения для перемещений и напряжений  в объеме полосы. Основным результатом работы является дифференциальное уравнение низкочастотных колебаний балки, которое учитывает поверхностные эффекты и обобщает хорошо известные  уравнения теории балок. Показано, что наличие поверхностных напряжений приводит к увеличению собственных частот из нижнего спектра, в то время как учет поверхностной инерции, равно как и поперечных сдвигов в объеме,  влечет снижение частот.

Ключевые слова: 
Ультратонкая полоса-балка
поверхностная упругость
длинноволновая асимптотика
собственные частоты
Список источников: 
  1. Lavrik N. V., Sepaniak M. J., Datskos P. G. Cantilever transducers as a platform for chemical and biological sensors // Review of Scientific Instruments. 2004. Vol. 75. P. 2229–2253. https://doi.org/10.1063/1.1763252
  2. Zhang Y., Khan M., Huang Y., Ryou J., Deotare P., Dupuis R., Loncar M. Photonic crystal nanobeam lasers // Applied Physics Letters. 2010. Vol. 97, iss. 5. Art. 051104. https://doi.org/10.1063/1.3475397
  3. Qiao Q., Xia J., Lee C., Zhou G. Applications of photonic crystal nanobeam cavities for sensing // Micromachines. 2018. Vol. 9, iss. 11. Art. 541. https://doi.org/10.3390/mi9110541
  4. Cuenot S., Fretigny C., Demoustier-Champagne S., Nysten B. Surface tension effect on the mechanical properties of nanomaterials measured by atomic force microscopy // Physical Review. B. 2004. Vol. 69, iss. 16. P. 165410–165415. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.69.165410
  5. Sun C. T., Zhang H. Size-dependent elastic moduli of platelike nanomaterials // Journal of Applied Physics. 2003. Vol. 93. P. 1212–1218. https://doi.org/10.1063/1.1530365
  6. Zhang H., Sun C. T. Nanoplate model for platelike nanomaterials // AIAA Journal. 2004. Vol. 42, iss. 10. P. 2002–2009. https://doi.org/10.2514/1.5282
  7. Zhou L. G., Huang H. Are surfaces elastically softer or stiffer? // Applied Physics Letters. 2004. Vol. 84, iss. 11. P. 1940–1942. https://doi.org/10.1063/1.1682698
  8. Gurtin M. E., Murdoch A. I. Surface stress in solids // International Journal of Solids and Structures. 1978. Vol. 14, iss. 6. P. 431–440. https://doi.org/10.1016/0020-7683(78)90008-2
  9. Wang J., Huang Z., Duan H., Yu S., Feng X., Wang G., Zhang W., Wang T. Surface stress effect in mechanics of nanostructured materials // Acta Mechanica Solida Sinica. 2011. Vol. 24, iss. 1. P. 52–82. https://doi.org/10.1016/S0894-9166(11)60009-8
  10. Achenbach J. Wave Propagation in Elastic Solids. Amsterdam, The Netherland : North Holland, 1973. 440 p.
  11. Eremeyev V. A., Rosi G., Naili S. Surface/interfacial anti-plane waves in solids with surface energy // Mechanics Research Communications. 2016. Vol. 74. P. 8–13. https://doi.org/10.1016/j.mechrescom.2016.02.018
  12. Zhu F., Pan E., Qian Z., Wang Y. Dispersion curves, mode shapes, stresses and energies of SH and Lamb waves in layered elastic nanoplates with surface/interface effect // International Journal of Engineering Science. 2019. Vol. 142. P. 170–184. https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2019.06.003
  13. Mikhasev G. I., Botogova M. G., Eremeyev V. A. Anti-plane waves in an elastic thin strip with surface energy // Philosophical Transactions of the Royal Society, Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 2022. Vol. 380, iss. 2231. Art. 20210373. https://doi.org/10.1098/rsta.2021.0373
  14. Mikhasev G. I., Erbas B., Eremeyev V. A. Anti-plane shear waves in an elastic strip rigidly attached to an elastic half-space // International Journal of Engineering Science. 2023. Vol. 184. Art. 103809. https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2022.103809
  15. Mogilevskaya S. G., Zemlyanova A. Y., Kushch V. I. Fiber- and particle-reinforced composite materials with the Gurtin – Murdoch and Steigmann – Ogden surface energy endowed interfaces // Applied Mechanics Reviews. 2021. Vol. 73. P. 1–18. https://doi:10.1115/1.4051880
  16. Gorbushin N., Eremeyev V. A., Mishuris G. On stress singularity near the tip of a crack with surface stresses // International Journal of Engineering Science. 2020. Vol. 146. Art. 103183. https://doi.or/10.1016/j.ijengsci.2019.103183
  17. Lim C. W., He L. H. Size-dependent nonlinear response of thin elastic films with nano-scale thickness // International Journal of Mechanical Science. 2004. Vol. 46. P. 1715–1726. https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2004.09.003
  18. Lu P., He L. H., Lee H. P., Lu C. Thin plate theory including surface effects // International Journal of Solids and Structures. 2006. Vol. 43. P. 4631–4647. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2005.07.036
  19. Lu L., Guoa X., Zhao J. On the mechanics of Kirchhoff and Mindlin plates incorporating surface energy // International Journal of Engineering Science. 2018. Vol. 124. P. 24–40. https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2017.11.020
  20. Zhou J., Lu P., Xue Y., Lu C. A third-order plate model with surface effect based on the Gurtin – Murdoch surface elasticity // Thin-Walled Structures. 2023. Vol. 185. Art. 110606. https://doi.org/10.1016/j.tws.2023.110606
  21. Yang W., Wang S., Kang W., Yu T., Li Y. A unified high-order model for size-dependent vibration of nanobeam based on nonlocal strain/stress gradient elasticity with surface effect // International Journal of Engineering Science. 2023. Vol. 182. Art. 103785. https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2022.103785
  22. Altenbach H., Eremeyev V. A. On the shell theory on the nanoscale with surface stresses // International Journal of Engineering Science. 2011. Vol. 49, iss. 12. P. 1294–1301. https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2011.03.011
  23. Altenbach H., Eremeyev V. A., Morozov N. F. Surface viscoelasticity and effective properties of thin-walled structures at the nanoscale // International Journal of Engineering Science. 2012. Vol. 59. P. 83–89. https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2012.03.004
  24. Tovstik P. E., Tovstik T. P. Generalized Timoshenko – Reissner models for beams and plates, strongly heterogeneous in the thickness direction // ZAMM – Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2017. Vol. 97, iss. 3. P. 296–308. https://doi.org/10.1002/zamm.201600052
  25. Mikhasev G., Botogova M., Le N. Flexural deformations and vibrations of a three-layer beam-strip with a stiff core and soft skins // Progress in Continuum Mechanics / eds.: H. Altenbach, H. Irschik, A. Porubov. Cham : Springer, 2023. P. 265–282. (Advanced Structural Materials, vol. 196). https://doi.org/10.1007/978-3-031-43736-6_16
  26. Kaplunov J., Kossovitch L., Nolde E. Dynamics of Thin Walled Elastic Bodies. San Diego : Academic Press, 1998. 226 p.
  27. Timoshenko S. On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bar // Philosophical Magazine Series. 1921. Vol. 6, iss. 245. P. 744–746. https://doi.org/10.1080/14786442108636264
Поступила в редакцию: 
06.12.2023
Принята к публикации: 
28.12.2023
Опубликована: 
01.03.2024
  • 289 просмотров