Выведено неинтегрируемое квазигиперболическое уравнение шестого порядка, моделирующее осесимметричное распространение продольных волн вдоль образующей цилиндрической оболочки Кирхгофа – Лява, взаимодействующей с нелинейно-упругой средой. Введена в рассмотрение шестипараметрическая обобщенная модель нелинейно-упругой среды, сводящаяся в частных случаях к моделям Винклера, Пастернака и Хетеньи. Вывод уравнения осуществлен асимптотическим методом многих масштабов в предположении, что безразмерные параметры нелинейности, дисперсии и тонкостенности имеют одинаковый порядок малости. Использование введенной модели позволило выявить дополнительные высокочастотные и низкочастотную дисперсии, характеризующие реакцию внешней среды на изгиб и сдвиг. Показано, что для выявления нелинейных эффектов, компенсирующих дисперсию, необходимо использовать неклассические теории оболочек. Установлено, что модель Пастернака допускает «бездисперсионное» состояние, когда дисперсия, обусловленная инерцией нормального перемещения, компенсируется дисперсией, порождаемой реакцией нелинейно-упругого основания на сдвиг.