Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)

Для цитирования:

Малышев К. Ю. Представление функций Грина волнового уравнения на отрезке в конечном виде // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2022. Т. 22, вып. 4. С. 430-446. DOI: 10.18500/1816-9791-2022-22-4-430-446, EDN: UIUDUP

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
30.11.2022
Полный текст:
скачать
(downloads: 1200)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Математика
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.98
DOI: 
10.18500/1816-9791-2022-22-4-430-446
EDN: 
UIUDUP

Представление функций Грина волнового уравнения на отрезке в конечном виде

Авторы: 
Малышев Ксаверий Юрьевич, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Научно-исследовательский институт ядерной физики имени Д. В. Скобельцына (НИИЯФ МГУ)
Аннотация: 

Исследованы решения начально-краевых задач о возбуждении колебаний ограниченного отрезка точечным мгновенно действующим источником. Решения этих задач, называемые функциями Грина уравнения колебаний на отрезке, известны в виде бесконечных рядов Фурье или рядов по функциям Хевисайда. Метод Крылова ускорения сходимости рядов Фурье для некоторых вариантов граничных условий не просто ускоряет сходимость, а позволяет составить выражения для функций Грина в конечном виде. В настоящей работе даны конечные выражения функций Грина в виде элементарных функций вещественной переменной. Рассмотрено четыре различных постановки граничных условий, в том числе условия периодичности.

Ключевые слова: 
уравнение колебаний на отрезке
функция Грина
представление в конечном виде
граничные условия
метод А. Н. Крылова
Благодарности: 
Работа выполнена при поддержке Программы стратегического академического лидерства РУДН. Автор благодарит проф. М. Д. Малых (РУДН) за постоянное внимание к работе, проф. А. Н. Боголюбова (МГУ, физический факультет), проф. Л. А. Севастьянова (РУДН), M. В. Алексеева (НИУ ВШЭ) за ценные обсуждения.
Список источников: 
  1. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики : в 2 т. Москва ; Ленинград : ГТТИ, 1933. Т. 1. 525 с.
  2. Strutt J. W. The Theory of Sound : in 2 vols. New York : Dover Poblications, 1945. Vol. 1. 520 p.
  3. Свешников А. Г., Боголюбов А. Н., Кравцов А. В. Лекции по математической физике. Москва : Наука, 2004. 416 с.
  4. Доля П. Г. Периодическое продолжение функций и решение уравнения колебаний струны в системах символьной математики // Вестник Харьковского национального университета. Серия: Математическое моделирование. Информационные технологии. Автоматизированные системы управления. 2006. № 733. С. 106–116.
  5. Dolya P. G. Solution to the homogeneous boundary value problems of free vibrations of a finite string // Журнал математической физики, анализа, геометрии. 2008. Т. 4, № 2. С. 237–251.
  6. Ларин А. А. Зарождение математической физики и теории колебаний континуальных систем в «Споре о струне» // Вестник Национального технического университета «Харьковский политехнический институт». История науки и техники. 2008. № 8. C. 89–97.
  7. Гаврилов В. С., Денисова Н. А. Метод характеристик для одномерного волнового уравнения. Нижний Новгород : Изд-во Нижегородского ун-та им. Н. И. Лобачевского, 2014. 72 с.
  8. Маркушевич А. И. Элементы теории аналитических функций. Москва : Учпедгиз, 1944. 545 с.
  9. Bronstein M. Symbolic Integration I. Transcendental Functions. Second Edition. Springer, 2005. 325 p.
  10. Павлов Д. И. Символьное интегрирование // Компьютерные инструменты в образовании. 2010. № 2. С. 38–43. EDN: MQIBUR
  11. Liouville J. Memoire sur l'integration d'une classe de fonctions transcendantes // Journal fur die reine und angewandte Mathematik. 1835. Bd. 13, Hf. 2. S. 93–118. https://doi.org/10.1515/crll.1835.13.93
  12. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа : в 2 ч. Ч. 1. Москва : Физматлит, 2005. 648 с.
  13. Крылов А. Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики. Москва ; Ленинград : ГИТТЛ, 1950. 368 с.
  14. Хромов А. П., Бурлуцкая М. Ш. Классическое решение методом Фурье смешанных задач при минимальных требованиях на исходные данные // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 2. С. 171–198. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2014-14-2-171-198
  15. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближённые методы высшего анализа. Москва ; Ленинград : ГИТТЛ, 1950. 696 с.
  16. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды : в 3 т. Москва : Физматлит, 2002. Т. 1. 632 с.
  17. Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. Москва : Физматлит, 2001. 576 с.
  18. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике. Москва : Наука, 1972. 688 с.
  19. Ласый П. Г., Мелешко И. Н. Приближенное решение одной задачи об электрических колебаниях в проводах с помощью полилогарифмов // Энергетика. Известия высших учебных заведений и энергетических объединений СНГ. 2017. Т. 60, № 4. С. 334–340. https://doi.org/10.21122/1029-7448-2017-60-4-334-340
  20. Ласый П. Г., Мелешко И. Н. Применение полилогарифмов к приближенному решению неоднородного телеграфного уравнения для линии без искажений // Энергетика. Известия высших учебных заведений и энергетических объединений СНГ. 2019. Т. 2, № 5. С. 413–421. https://doi.org/10.21122/1029-7448-2019-62-5-413-421
  21. Кадырова В. Д., Насыров Ф. С., Сучкова Д. А. Вероятностное представление решений волновых уравнений и функция Грина // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. 2017. Т. 21, № 4 (78). С. 129–135. EDN: ZWSQOT
  22. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. Москва : Наука, 2004. 798 с.
  23. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. Москва : Наука, 1981. 512 с.
  24. Цвибах Б. Начальный курс теории струн. Москва : Эдиториал УРСС, 2011. 784 с.
  25. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа : в 2 ч. Ч. 2. Москва : Физматлит, 2002. 464 с.
  26. Бутузов В. Ф. Числовые ряды. Функциональные последовательности и ряды. Москва : Физический факультет МГУ, 2015. 40 с.
  27. Никишин Е. М. Перестановки функциональных рядов // Математический сборник. 1971. Т. 85 (127), № 2 (6). С. 272–285.
  28. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Москва : Наука, 1966. 656 с.
  29. Jolley L. B. W Summation of Series. New York : Dover Publications, inc., 1961. 278 p.
  30. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Москва : Наука, 1963. 1110 с.
  31. Гринберг Г. А. Избранные вопросы теории электрических и магнитных явлений. Москва : Изд-во АН СССР, 1948. 730 с.
  32. Боголюбов А. Н., Левашова Н. Т., Могилевский И. Е., Мухартова Ю. В., Шапкина Н. Е. Функция Грина оператора Лапласа. Москва : Физический факультет МГУ, 2018. 188 с.
  33. Малашонок Г. И. Система компьютерной алгебры MATHPARTNER // Программирование. 2017. Т. 43, № 2. С. 63–71.
  34. Васильев С. А., Еднерал В. Ф., Малых М. Д., Севастьянов Л. А. Математический анализ. Ряды с MS Mathematics. Москва : Изд-во РУДН, 2016. 119 с.
  35. Тихомиров В. М. Абель и его великая теорема // Квант. 2003. № 1. С. 11–15.
  36. Лобачевский Н. И. Полное собрание сочинений : в 5 т. Т. 5. Москва ; Ленинград : ГИТТЛ, 1951. 500 с.
  37. Пак И. Н. О суммах тригонометрических рядов // Успехи математических наук. 1980. Т. 35, вып. 2 (212). С. 91–144.
  38. Telyakovskii S. A. On the properties of blocks of terms of the series $ \sum {\frac{1}{k}\sin k\,x}$ // Ukrainian Mathematical Journal. 2012. Vol. 64, № 5. P. 816–822. https://doi.org/10.1007/s11253-012-0680-7
  39. Кнут Д., Грэхем Р., Паташник О. Конкретная математика. Математические основы информатики. Москва : Мир, 1998. 703 с.
  40. Колоколов В. В., Лебедев И. В. Избранные главы математической физики. Москва : ИТФ им. Ландау, 2018. 53 с.
  41. Зорич В. А. Математический анализ : в 2 ч. Ч. 2. Москва : МЦНМО, 2019. 676 с.
Поступила в редакцию: 
17.06.2022
Принята к публикации: 
05.08.2022
Опубликована: 
30.11.2022
  • 4947 просмотров