Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Чуканов С. Н. Протокол обмена ключами на основе некоммутативных элементов алгебры Клиффорда // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2021. Т. 21, вып. 3. С. 408-418. DOI: 10.18500/1816-9791-2021-21-3-408-418

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
31.08.2021
Полный текст:
(downloads: 71)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
004.056.55

Протокол обмена ключами на основе некоммутативных элементов алгебры Клиффорда

Авторы: 
Чуканов Сергей Николаевич, Институт математики имени С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал
Аннотация: 

Многие из протоколов асимметричной криптографии основаны на операциях, выполняемых в коммутативных алгебраических структурах, которые уязвимы для квантовых атак. Разработка алгоритмов в некоммутативных структурах позволяет усилить эти протоколы. Криптография – это раздел математики, в котором  решается задача передачи информации через небезопасные каналы. Для этого информация шифруется. При шифрованном обмене данными выделяются подзадачи: безопасный обмен ключами, а затем шифрование дешифрование сообщения. В задачах криптографии с открытым ключом применяется протокол обмена ключами Диффи – Хеллмана.  В настоящее время возрос интерес к разработке альтернативных асимметричных криптосистем, устойчивых к атакам алгоритмов квантовых компьютеров. Большинство из этих схем являются алгоритмами некоммутативной криптографии, например  схема, основанная на кольце матричных полиномов. Одна из задач для разработки криптографических схем – поиск сопряженности – может быть сформулирована над конечными некоммутативными группами. Безопасность передачи информации может быть построена на основе неразрешимости проблемы поиска сопряженности, которая определена над конечными некоммутативными группами. Целью настоящей работы является разработка модели протокола Диффи – Хеллмана с использованием алгебраической структуры алгебры Клиффорда (к которым относятся кватернионы) и структуры кольца многочленов. Обеспечение безопасности алгоритма с использованием алгебр Клиффорда основано на некоммутативной структуре этих алгебр и возможности работы в пространстве любой размерности $n \ge 1$.   Группы алгебры Клиффорда являются некоммутативными структурами, так же как и матричные полиномы. Однако группы алгебры Клиффорда имеют более компактную запись, показывают меньшее время выполнения во многих сопоставимых операциях. Использование в качестве коэффициентов элементов алгебр Клиффорда и показателей степеней целых чисел позволяет понизить требование к регистрам процессоров (не использовать процессоры с плавающей запятой) и существенно повысить производительность формирования протокола Диффи – Хеллмана.  

Благодарности: 
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 18-07-00526, № 18-08-01284).
Список источников: 
  1. Diffie W., Hellman M. E. New directions in cryptography // IEEE Transactions on Information Theory. 1976. Vol. 22, № 6. P. 644–654. https://doi.org/10.1109/TIT.1976.1055638
  2. Anshel I., Anshel M., Goldfeld D. An algebraic method for public-key cryptography // Mathematics Research Letter. 1999. Vol. 6, № 3. P. 287–291. http://dx.doi.org/10.4310/MRL.1999.v6.n3.a3
  3. Hecht P. Un modelo compacto de criptografia asimetrica empleando anillos no conmutativos // Actas del V Congreso Iberoamericano de Seguridad Informatica CIBSI’09. 2009. P. 188–201.
  4. Ki Hyoung Ko, Sang Jin Lee, Jung Hee Cheon, Jae Woo Han, Ju-sung Kang, Choonsik Park. New public-key cryptosystem using braid group // Advances in Cryptology — CRYPTO 2000 / ed. M. Bellare. Berlin, Heidelberg : Springer, 2020. P. 166–183. (Lecture Notes in Computer Science, vol. 1880). https://doi.org/10.1007/3-540-44598-6_10
  5. Miasnikov A. G., Shpilrain V., Ushakov A. Non-Commutative Cryptography and Complexity of Group-Theoretic Problems. AMS, 2011. 385 p. (Mathematical Surveys and Monographs, vol. 177).
  6. Kamlofsky J. A., Hecht J. P., Masih S., Izzi O. A Diffie – Hellman compact model over non-commutative rings using quaternions // MEMORIAS CIBSI 2015 (VIII Congreso Iberoamericano de Seguridad Informatica). Quito, Ecuador, 2015. 6 p. https://doi.org/10.13140/RG.2.1.4063.1760
  7. Bayro-Corrochano E. Geometric Algebra Applications : in 2 vols. Vol. 1 : Computer Vision, Graphics and Neurocomputing. Springer, 2020. 742 p. https://doi.org/10.1007/978-3-319- 74830-6
  8. Bayro-Corrochano E. Geometric Algebra Applications : in 2 vols. Vol. 2 : Robot Modelling and Control. Springer, 2020. 600 p. https://doi.org/10.1007/978-3-030-34978-3
  9. Hamilton W. R. Elements of Quaternions. London, UK : Longmans, Green, & Co, 1866. 762 p.
  10. Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем. Москва : Наука, 1992. 280 с.
  11. Челноков Ю. Н. Кватернионная регуляризация в небесной механике и астродинамике и управление траекторным движением. I // Космические исследования. 2013. Т. 51, № 5. С. 389–401. https://doi.org/10.7868/S0023420613050026
  12. Челноков Ю. Н. Кватернионная регуляризация в небесной механике и астродинамике и управление траекторным движением. II // Космические исследования. 2014. Т. 52, № 4. С. 322–336. https://doi.org/10.7868/S0023420614030029
  13. Челноков Ю. Н. Кватернионная регуляризация в небесной механике и астродинамике и управление траекторным движением. III // Космические исследования. 2015. Т. 53, № 5. С. 430–446. https://doi.org/10.7868/S0023420615050040
  14. Baez J. C. The octonions // Bulletin of the American Mathematical Society. 2002. Vol. 39, № 2. P. 145–205.
  15. Clifford W. K. Applications of Grassmann’s extensive algebra // American Journal of Mathematics. 1878. Vol. 1, № 4. P. 350–358. https://doi.org/10.2307/2369379
  16. Clifford W. K. Preliminary sketch of biquaternions // Proceedings of the London Mathematical Society. 1873. Vol. s1-4, iss. 1. P. 381–395. https://doi.org/10.1112/plms/s1-4.1.381
  17. Clifford Multivector Toolbox. URL: http://clifford-multivector-toolbox.sourceforge.net/ (дата обращения: 15.07.2020).
  18. Sangwine S. J., Hitzer E. Clifford multivector toolbox (for MATLAB) // Advances in Applied Clifford Algebras. 2017. Vol. 27, iss. 1. P. 539–558. https://doi.org/10.1007/s00006- 016-0666-x
  19. Mann S., Dorst L., Bouma T. The making of GABLE: A geometric algebra package in Matlab // Geometric Algebra with Applications in Science and Engineering / eds. E. Bayro-Corrochano, G. Sobczyk. Boston : Birkhauser, 2001. P. 491–511.  https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0159-5_24
  20. Ablamowicz R., Fauser B. Clifford/Bigebra, a Maple package for Clifford (co)algebra computations. URL: http://www.math.tntech.edu/rafal/ (дата обращения: 15.07.2020).
Поступила в редакцию: 
18.07.2020
Принята к публикации: 
03.05.2021
Опубликована: 
31.08.2021