Для цитирования:
Ступин Д. Л. Новое доказательство гипотезы Кшижа при n = 3 // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024. Т. 24, вып. 3. С. 342-350. DOI: 10.18500/1816-9791-2024-24-3-342-350, EDN: FNMHYW
Новое доказательство гипотезы Кшижа при n = 3
Цель статьи — решение задачи о точной оценке модуля третьего тейлоровского коэффициента на классе голоморфных ограниченных не обращающихся в нуль в единичном круге функций (далее класс ограниченных не обращающихся в нуль функций). Задачу о точной оценке модулей всех тейлоровских коэффициентов в зависимости от номера коэффициента на этом классе обычно называют проблемой Кшижа. Рассмотрим класс нормированных голоморфных ограниченных в единичном круге функций (далее класс ограниченных функций). Проблема коэффициентов на этом классе ставится так: найти необходимые и достаточные условия, которые нужно наложить на последовательность комплексных чисел для того, чтобы степенной ряд с коэффициентами из этой последовательности был рядом Тейлора некоторой функции из класса ограниченных функций. В данной работе на основе решения проблемы коэффициентов для класса ограниченных функций решается задача получения точных оценок модулей первых трех тейлоровских коэффициентов на классе ограниченных функций. Указано на возможность визуализации первых трех тел коэффициентов подкласса класса ограниченных функций, состоящего из функций с действительными коэффициентами. Далее решается задача получения точной верхней оценки модуля третьего тейлоровского коэффициента на классе ограниченных не обращающихся в нуль функций путем перехода к функционалу над классом ограниченных функций. На основе упомянутых выше оценок на классе ограниченных функций удалось получить функционал, мажорирующий исходный. После чего задача сведена к поиску условного максимума функции трех действительных переменных с ограничениями типа неравенств, что позволило применить стандартные методы дифференциального исчисления для получения этого основного результата.
- Krzyz J. G. Coefficient problem for bounded nonvanishing functions // Annales Polonici Mathematici. 1968. Vol. 20. P. 314.
- Samaris N. A proof of Krzyz’s conjecture for the fifth coefficient // Complex Variables, Theory and Application: An International Journal. 2003. Vol. 48, iss. 9. P. 753–766. https://doi.org/10.1080/0278107031000152616
- Rogosinski W. On the coefficients of subordinate functions // Proceedings of the London Mathematical Society. 1945. Vol. s2-48, iss. 1. P. 48–82. https://doi.org/10.1112/plms/s2-48.1.48
- Ступин Д. Л. Проблема коэффициентов для функций, отображающих круг в обобщенный круг и задача Каратеодори – Фейера // Применение функционального анализа в теории приближений. 2012. № 33. С. 45–74. EDN: QZHWUT
- Brown J. E. Iterations of functions subordinate to schlicht functions // Complex Variables, Theory and Application: An International Journal. 1987. Vol. 9, iss. 2–3. P. 143–152. https://doi.org/10.1080/17476938708814258
- Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. Москва : Наука, 1966. 628 с.
- Levin V. I. Losing der Aufgabe 163 // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1934. Vol. 44. P. 80–81.
- Fenchel W. Losing der Aufgabe 163 // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1934. Vol. 44. P. 81–82.
- Reissner E. Losing der Aufgabe 163 // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1934. Vol. 44. P. 83.
- Hummel J. A., Scheinberg S., Zalcman L. A. A coefficient problem for bounded nonvanishing functions // Journal d’Analyse Mathematique. 1977. Vol. 31. P. 169–190. https://doi.org/10.1007/BF02813302
- Prokhorov D. V., Szynal J. Coefficient estimates for bounded nonvanishing functions // Bulletin de l’Academie Polonaise des Sciences. Serie des Sciences Mathematiques. 1981. Vol. 29, iss. 5–6. P. 223–230.
- Prokhorov D. V. Coefficients of holomorphic functions // Journal of Mathematical Sciences. 2001. Vol. 106, iss. 6. P. 3518–3544. https://doi.org/10.1023/A:1011975914158
- Szapiel W. A new approach to the Krzyz conjecture // Annales Universitatis Mariae Curie-Sklodowska, Sectio A. 1994. Vol. 48. P. 169–192.
- 269 просмотров