В работе рассматривается задача о сжатии упругих цилиндрических образцов под действием торцевых нагрузок. Представлены способы построения приближенных моделей деформирования различного порядка для вытянутых образцов путём введения гипотез о представлении поля перемещений в виде разложения по радиальным полиномам различного порядка с неизвестными коэффициентами-функциями. Приближённые модели построены с помощью использования вариационного принципа Лагранжа. Сформирован упрощённый функционал энергии путём интегрирования по радиальной координате. С помощью вариационного принципа на базе метода Канторовича задача сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с соответствующими краевыми условиями, причём для однородных тел эти системы дифференциальных уравнений имеют постоянные коэффициенты, зависящие от коэффициента Пуассона. Построены решения для упрощённых моделей, показано наличие стержневых и погранслойных решений. Проведена верификация полученных моделей на основе МКЭ при постоянных и переменных значениях параметров Ляме, а также осуществлена серия вычислительных экспериментов, которая показала возможность использования предлагаемых моделей в случае вытянутых образцов, что позволяет оценить их точность и использовать при решении прикладных задач различного типа.