Для цитирования:
Smaglichenko T. A. Merging of Euler’s method with trigonometric functions for accurate ray path in a two-gradient medium [Смагличенко Т. А. Объединение метода Эйлера и тригонометрических функций для определения точного пути луча в двухградиентной среде] // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2026. Т. 26, вып. 2. С. 175-186. DOI: 10.18500/1816-9791-2026-26-2-175-186, EDN: EVOAWM
Merging of Euler’s method with trigonometric functions for accurate ray path in a two-gradient medium
[Объединение метода Эйлера и тригонометрических функций для определения точного пути луча в двухградиентной среде]
В данной работе представлено аналитическое решение, позволяющее получить точную траекторию луча, распространяющегося от известного положения источника к приёмнику в двухградиентной среде. Система из двух линейных градиентов соединяет две различные слоистые среды, переход от одной в другую происходит на некоторой границе. В каждой среде показатели преломления определяют распространение волн и, соответственно, искривлённые пути лучей. Различные радиусы кривых затрудняют отслеживание луча при его распространении от источника до приёмника. Метод Эйлера даёт точное решение для модели, характеризующейся одним градиентом. Однако в случае двух градиентов точное решение невозможно построить из-за недоопределённости общей системы кривых лучей и вычислительной сложности. В статье описывается метод, объединяющий метод Эйлера и тригонометрические функции для вывода прямых формул при расчете ключевых углов, отвечающих за траекторию луча в обеих градиентных средах. Точное решение позволяет преодолеть недостаток итерационного подхода, связанный с вычислительной погрешностью. Базовая формула, разработанная для двухградиентных моделей, была протестирована на небольшом наборе реальных данных путём её преобразования в частный случай одноградиентной модели. Независимость оценок подтверждена сравнением расчётных параметров с параметрами, взятыми из более ранней публикации. Полученные формулы имеют важное значение для решения проблем при разведке месторождений нефти и газа, геотермальных ресурсов и других, связанных с энергетикой. Решение может быть обобщено на акустические, оптические и другие задачи.
- Minkhanov I. F., Dolgikh S. A., Varfolomeev M. A. Razrabotka neftyanykh i gazovykh mestorozhdenij [Development of oil and gas fields]. Kazan, KFU Publ., 2019. 96 p. (in Russian).
- Arctic LNG 2 (liquefied natural gas) projects of the NOVATEK company. Available at: https://www.novatek.ru/en/about/lng-projects/arctic-lng/ (accessed September 30, 2025).
- Smaglichenko T., Smaglichenko A., Sayankina M. Risk of deep drilling: Seismic velocities estimate for Skjalfandi Bay, Iceland based on selected coordinate descent. 17th International Conference on Management of Large-Scale System Development (MLSD), Moscow, Russian Federation, September 24–26, 2024, pp. 1–5. DOI: https://doi.org/10.1109/MLSD61779.2024.10739448
- Smaglichenko T., Bjarnason I., Smaglichenko A., Jacoby W. Method to find the minimum 1D linear gradient model for seismic tomography. Fundamenta Informaticae, 2016, vol. 146, iss. 2, pp. 211–217. DOI: https://doi.org/10.3233/FI-2016-1382
- Smaglichenko T. A., Smaglichenko A. V., Zelinka I., Chigarev B. Seismic attractor can assist in finding of geothermal area? International Journal of Parallel, Emergent and Distributed Systems, 2018, vol. 33, iss. 5, pp. 503–512. DOI: https://doi.org/10.1080/17445760.2017.1419349
- Avetisov G. P. Output angles of longitudinal seismic waves according to observations at Franz Josef Land stations. Geofizicheskie metody issledovanij v Arktike [Geophysical Methods of Exploration in the Arctic], 1974, vol. 9, pp. 96–101 (in Russian).
- Malinovskaya L. N. On the issue of calculating theoretical seismograms of interference oscillations. Voprosy dinamicheskoj teorii rasprostraneniya sejsmicheskikh voln [Questions of the dynamic theory of seismic wave propagation]. Leningrad, Leningrad State University Publ., 1959, vol. 3, pp. 356–378 (in Russian).
- Savarensky E. F. Ob uglakh izlucheniya sejsmicheskoj radiatsii i nekotorykh svyazannykh s etim voprosom [On the angles of seismic radiation emission and some related issues]. Proceedings of the Geophysical Institute of the USSR Academy of Sciences, vol. 15 (142). Moscow, USSR Academy of Sciences Publ., 1952. 111 p. (in Russian).
- Um J., Thurber C. A fast algorithm for two-point seismic ray tracing. Bulletin of the Seismological Society of America, 1987, vol. 77, iss. 3, pp. 972–986. DOI: https://doi.org/10.1785/BSSA0770030972
- Sun Y. Ray tracing in 3-D media by parametrized shooting. Geophysical Journal International, 1993, vol. 114, iss. 1, pp. 145–155. DOI: https://doi.org/10.1111/j.1365-246X.1993.tb01474.x
- Zhao D., Hasegawa A. P-wave tomographic imaging of the crust and upper mantle beneath the Japan islands. Journal of Geophysical Research: Solid Earth, 1993, vol. 98, iss. B3, pp. 4333–4353. DOI: https://doi.org/10.1029/92JB02295
- Gudmundsson O., Sambridge M. A regionalized upper mantle (RUM) seismic model. Journal of Geophysical Research: Solid Earth, 1998, vol. 103, iss. B4, pp. 7121–7136. DOI: https://doi.org/10.1029/97JB02488
- Sekine S., Koketsu K. Parametrized shooting of seismic rays in a spherical earth with discontinuities. Geophysical Journal International, 2001, vol. 146, iss. 2, pp. 497–503. DOI: https://doi.org/10.1046/j.1365-246x.2001.01472.x
- Antonova L. N., Matveeva N. N. Kinematics of waves in three-dimensional block-gradient media. Voprosy dinamicheskoj teorii rasprostraneniya sejsmicheskikh voln [Questions of the dynamic theory of seismic wave propagation]. Leningrad, Leningrad State University Publ., 1975, vol. 15, pp. 78–89 (in Russian).
- Gomaniuk Y. A., Stepanov P. Y. Variational ray tracing algorithms in solving kinematic seismic problems in two-dimensional media. Journal of Geophysics, 2024, vol. 1, pp. 24–32 (in Russian). DOI: https://doi.org/10.34926/geo.2024.79.16.003, EDN: QFTVIO
- Smaglichenko T. A., Smaglichenko A. V., Genkin A. L., Sayankina M. K. Simulation of the ray path in techniques for imaging of elastic medium. Journal of Information Technologies and Computing Systems, 2018, vol. 3, pp. 52–58 (in Russian). DOI: https://doi.org/10.14357/20718632180305, EDN: VCEEFO
- Hovem J. M. Ray trace modeling of underwater sound propagation. In: Beghi M. G. (ed.) Modeling and measurement methods for acoustic waves and for acoustic microdevices. InTech – Open Access Publisher, Rijeka, Croatia, 2013, pp. 573–598. DOI: https://doi.org/10.5772/55935
- Gröller E. Nonlinear ray tracing: Visualizing strange worlds. The Visual Computer, 1995, vol. 11, pp. 263–274. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01901044
- 49 просмотров