ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)

For citation:

Kurdyumov V. P. On Riescz Bases of Eigenfunction of 2-nd Order Differential Operator with Involution and Integral Boundary Conditions. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2015, vol. 15, iss. 4, pp. 392-404. DOI: 10.18500/1816-9791-2015-15-4-392-405, EDN: VIZDQB

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0).
Published online:
21.12.2015
Full text:
(downloads: 198)
Language:
Russian
Heading:
UDC:
517.984
EDN:
VIZDQB

On Riescz Bases of Eigenfunction of 2-nd Order Differential Operator with Involution and Integral Boundary Conditions

Autors:
Kurdyumov Vitalii Pavlovich, Saratov State University
Abstract:

Riesz basisness with brackets of the eigen and associated function is proved for a 2-nd order differential operator with involution in the derivatives and with integral boundary conditions. To demonstrate this the spectral problem of the initial operator is reduced to the spectral problem of a 1-st order operator without involution in the 4-dimensional vector-function space. The equation of the new spectral problem contains a difficult non-trivial coefficient of the unknown function, but after a transformation, depending on the spectralparameterλ,thiscoefficientcanbeestimatedasO(λ −1/2 ). This makes it possible to get under some regularity conditions the location of eigenvalues of the initial operator and to present its resolvent by integral operators of simpler structure. These facts together with completeness of the eigen and associated functions of the operator, adjoint to the initial one, underlie the proof of the result formulated.

Key words:
References:
1. Андреев А. А., Саушкин И. Н. Об аналоге задачи Трикоми для одного модельного уравнения с инволютивным отклонением в бесконечной области // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2005. Вып. 36. С. 10–16. DOI: 10.14498/vsgtu332.
2. Корнев В. В., Хромов А. П. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях // Матем. сб. 2001. Т. 192, № 10. С. 33–50. DOI: 10.4213/sm601.
3. Бурлуцкая М. Ш., Хромов А. П. Смешанные задачи для гиперболических уравнений первого порядка с инволюцией // ДАН. 2011. Т. 441, № 2. С. 156–159.
4. Курдюмов В. П., Хромов А. П. О базисах Рисса из собственных функций интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях // ДАН. 2011. Т. 439, № 6. С. 733–735.
5. Хромов А. П., Хромова Г. В. О сходимости метода М. М. Лаврентьева для интегрального уравнения первого рода с инволюцией // Тр. ИММ УрО РАН. 2012. Т. 18, № 1. С. 289–297.
6. Курдюмов В. П., Хромов А. П. О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций функционально-дифференциального уравнения с оператором отражения // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, № 2. С. 196–204.
7. Шкаликов А. А. О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, матем., мех. 1982. № 6. С. 12–21.
8. Шкаликов А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Тр. сем. им. И. Г. Петровского. 1983. Т. 9. С. 190–229.
9. Баскаков А. Г., Кацаран Т. К. Спектральный анализ интегро-дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, № 8. С. 1424–1433.
10. Рапопорт И. М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Киев : Изд-во АН УССР, 1954.
11. Курдюмов В. П., Хромов А. П. О базисах Рисса из собственных функций интегрального оператора с переменным пределом интегрирования //Матем. заметки. 2004. Т. 76, вып. 1. С. 97–110. DOI: 10.4213/mzm92.
12. Седлецкий А. М. Аналитические преобразования Фурье и экспоненциальные аппроксимации, I // СМФН. Т. 5. М. : Изд-во МАИ, 2003. С. 3–152.
13. Курдюмов В. П., Хромов А. П. О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций дифференциально-разностного оператора с многоточечным краевым условием // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. унта, 2004. Вып. 6. С. 80–82.
14. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М. : Наука, 1969.
15. Курдюмов В. П., Хромов А. П. О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций дифференциально-разностного оператора с интегральными краевыми условиями // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. С. 61–63.
Received:
20.07.2015
Accepted:
30.11.2015
Published:
31.12.2015