Izvestiya of Saratov University.

Mathematics. Mechanics. Informatics

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)

For citation:

Svetlov A. V. On Spectrum of Schrödinger Operator on Manifold of a Special Type. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2014, vol. 14, iss. 4, pp. 584-589. DOI: 10.18500/1816-9791-2014-14-4-584-589, EDN: TBDAJH

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0).
Published online: 
01.12.2014
Full text:
download
(downloads: 170)
Language: 
Russian
Heading: 
Mathematics
UDC: 
517.95
DOI: 
10.18500/1816-9791-2014-14-4-584-589
EDN: 
TBDAJH

On Spectrum of Schrödinger Operator on Manifold of a Special Type

Autors: 
Svetlov A. V., Volgograd State University
Abstract: 

The main subject of the paper is spectrum of the Schrödinger operator on weighted quasimodel manifold with an end, which is warped product of a special type. We prove the criterion of discreteness for the spectrum of the operator in terms of metric coefficients and potential of the operator. As the conclusion we made some remarks on the corollaries of the proved theorem and on its extension to more complex quasimodel manifolds.

Key words: 
spectrum discreteness
Schr ¨odinger operator
Riemannian manifolds
quasimodel manifolds
warped products
References: 
  1. Pinsky M. The spectrum of the Laplacian on a manifold of negative curvature I // J. Diff. Geom. 1978. Vol. 13. P. 87–91.
  2.  Baider A. Noncompact Riemannian manifolds with discrete spectra // J. Diff. Geom. 1979. Vol. 14. P. 41–57.
  3.  Brooks R. A relation between growth and the spectrum of the Laplacian // Math. Z. 1981. Vol. 178. P. 501–508. DOI: 10.1007/BF01174771
  4.  Светлов А. В. Критерий дискретности спектра оператора Лапласа – Бельтрами на квазимодельных многообразиях // Сиб. матем. журн. 2002. Т. 43, № 6. С. 1362–1371.
  5.  Harmer M. Discreteness of the spectrum of the Laplacian and stochastic incompleteness // J. Geom. Anal. 2009. Vol. 19(2). P. 358–372. DOI:10.1007/s12220-008-9055-6
  6.  Kondratev V., Shubin M. Discreteness of spectrum for the Schr¨odinger operators on manifolds of bounded geometry // Operator theory : Advances and Applications. 1999. Vol. 110. P. 185–226. DOI: 10.1007/978-3-0348-8672-7_12
  7.  Shen Z. The spectrum of Schr¨odinger operators with positive potentials in Riemannian manifolds // Proc. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 131, № 11. P. 3447–3456. DOI: 10.1090/S0002-9939-03-06968-5
  8.  Svetlov A. V. Discreteness criterion for the spectrum of the Schr¨odinger operator on weighted quasimodel manifolds // Intern. J. Pure Appl. Math. 2013. Vol. 89, № 3. P. 393–400. DOI: 10.12732/ijpam.v89i3.10
  9.  Losev A. G. On some Liouville theorems on noncompact Riemannian manifolds // Siberian Math. J. 1998. Vol. 39, № 1. P. 74–80. DOI: 10.1007/BF02732362.
  10.  Losev A. G., Mazepa E. A. Bounded solutions of the Schrödinger equation on Riemannian products // St. Petersburg Math. J. 2001. Vol. 13, № 1. P. 57–73.
  11.  Korolkov S. A., Losev A. G. Generalized harmonic functions of Riemannian manifolds with ends // Mathematische Zeitschrift. 2012. Vol. 272(1–2). P. 459–472. DOI: 10.1007/s00209-011-0943-2.
  12.  Grigor’yan A. A. Analytic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds // Bull. Amer. Math. Soc. 1999. Vol. 36. P. 135–249. DOI: 10.1090/S0273-0979-99-00776-4.
  13.  Светлов А. В. Спектр оператора Шреденгера на скрещенных произведениях // Вестн. ВолГУ. Сер. 1, Математика. Физика. 2002. Вып. 7. С. 12–19.
  14.  Рид M., Саймон Б. Методы современной математической физики : в 4 т. Т. 1. Функциональный анализ. М. : Мир, 1977. 360с.
  15.  Schechter M. Spectra of partial differential operators. Amsterdam : North-Holland, 1971. 295 p.
  16.  Молчанов А. М. Об условиях дискретности спектра самосопряженных дифференциальных уравнений второго порядка // Тр. Моск. матем. о-ва. 1953. № 2. С. 169–199.
  17. Светлов А. В. Критерий дискретности спектра оператора Шредингера на многообразиях специального вида // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 17-й междунар. арат. зимн. шк. Саратов : ООО Изд-во «Научная книга», 2014. С. 245–247.
Received: 
07.06.2014
Accepted: 
30.10.2014
Published: 
01.12.2014
  • 808 reads