Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Акниев Г. Г. Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье для некоторых кусочно-линейных функций // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2018. Т. 18, вып. 1. С. 4-16. DOI: 10.18500/1816-9791-2018-18-1-4-16

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
28.03.2019
Полный текст:
(downloads: 58)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.521.2
DOI: 
10.18500/1816-9791-2018-18-1-4-16

Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье для некоторых кусочно-линейных функций

Авторы: 
Акниев Г. Г., Дагестанский научный центр РАН
Аннотация: 

Для заданного натурального числа N > 2 на отрезке [0,2π] выбрано N равноотстоящих узлов  t_k = 2πk/N (0 < k < N − 1) Для каждого натурального числа  n, удовлетворяющего неравенству 1 < n < ⌊N/2⌋, обозначим через  L_ n,N (f) = L _n,N (f,x) тригонометрический полином порядка n наименьшего квадратического отклонения от функции f в точках tk, который доставляет минимум сумме среди всех тригонометрических полиномов Tn порядка n. Рассмотрена задача о приближении кусочно-линейных периодических функций полиномами N L n,N (f,x). На конкретных примерах показано, что полиномы L n,N (f,x) приближают кусочно-линейную непрерывную периодическую функцию со скоростью O(1/n) равномерно относительно  x ∈ R и 1 < n < N/2, а также приближают такую функцию f(x) со скоростью  O(1/n^2) вне сколь угодно малых окрестностей, содержащих точки <<излома>> рассматриваемой ломаной f(x). Кроме того, на примерах показано, что полиномы L n,N (f,x) приближают кусочно-линейную разрывную функцию со скоростью O(1/n) вне сколь угодно малых окрестностей, сожержащих точки разрыва f(x). Особое внимание уделено приближению полиномами L n,N (f,x) 2π-периодических функций f_1 и f_2 , которые на отрезке [−π,π] совпадают с функциями |x| и sign x соответственно. Для первой из этих функций показано, что вместо оценки |f 1 (x) − L n,N (f 1 ,x)| < cln n/n, вытекающей из известного неравенства Лебега для полиномов  L n,N (f,x), установлена точная по порядку оценка |f 1 (x) − L n,N (f 1 ,x)| < c/n (x ∈ R), которая имеет место равномерно относительно  1 < n < ⌊N/2⌋. Кроме того, получена локальная оценка  |f_1 (x) − L n,N (f_1 ,x)| < c(ε)/n^2 (|x − πk| > ε), которая также имеет место равномерно относительно 1 < n < ⌊N/2⌋. Что касается второй из указанных функций  f_2 (x), то для нее равномерно относительно  1 < n < ⌊N/2⌋ получена оценка |f_2 (x) − L n,N (f_2 ,x)| < c(ε)/n (|x − πk| > ε). Доказательства полученых оценок базируются на сравнении аппроксимативных свойств дискретных и непрерывных тригонометрических сумм Фурье.

Список источников: 
  1. Sharapudinov I. I. On the best approximation and polynomials of the least quadratic deviation // Analysis Math. 1983. Vol. 9, iss. 3. P. 223–234. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01989807
  2. Бернштейн С. Н. О тригонометрическом интерполировании по способу наименьших квадратов // Докл. АН СССР. 1934. Т. 4, № 1. С. 1–5.
  3. Erdös P. Some theorems and remarks on interpolation // Acta Sci. Math. (Szeged). 1950. Vol. 12. P. 11–17.
  4. Калашников М. Д. О полиномах наилучшего (квадратического) приближения в заданной системе точек // Докл. АН СССР. 1955. Т. 105. С. 634–636.
  5. Крылов В. И. Сходимость алгебраического интерполирования по корням многочлена Чебышева для абсолютно непрерывных фунций и функций с ограниченным изменением // Докл. АН СССР. 1956. Т. 107. С. 362–365.
  6. Marcinkiewicz J. Quelques remarques sur l’interpolation // Acta Sci. Math. (Szeged). 1936. Vol. 8. P. 127–130.
  7. Marcinkiewicz J. Sur la divergence des polynômes d’interpolation // Acta Sci. Math. (Szeged). 1936. Vol. 8. P. 131–135.
  8. Natanson I. P. On the convergence of trigonometrical interpolation at equidistant knots // Ann. of Math. 1944. Vol. 45. P. 457–471.
  9. Никольский С. М. О некоторых методах приближения тригонометрическими суммами // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1940. Т. 4, вып. 6. С. 509–520.
  10. Турецкий А. Х. Теория интерполирования в задачах. Минск : Высш. шк., 1968. 320 с.
  11. Зигмунд А. Тригонометрические ряды : в 2 т. Т. 1. М. : Мир, 1965. 616 с.
  12. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : в 3 т. Т. 3. М. : ФИЗМАТЛИТ, 1969. 656 с.
  13. Магомед-Касумов М. Г. Аппроксимативные свойства средних Валле Пуссена для кусочно гладких функций // Матем. заметки. Т. 100, вып. 2. С. 229–247. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm10588
Краткое содержание:
(downloads: 18)