Для заданного натурального числа N > 2 на отрезке [0,2π] выбрано N равноотстоящих узлов  t_k = 2πk/N (0 < k < N − 1) Для каждого натурального числа  n, удовлетворяющего неравенству 1 < n < ⌊N/2⌋, обозначим через  L_ n,N (f) = L _n,N (f,x) тригонометрический полином порядка n наименьшего квадратического отклонения от функции f в точках tk, который доставляет минимум сумме среди всех тригонометрических полиномов Tn порядка n. Рассмотрена задача о приближении кусочно-линейных периодических функций полиномами N L n,N (f,x). На конкретных примерах показано, что полиномы L n,N (f,x) приближают кусочно-линейную непрерывную периодическую функцию со скоростью O(1/n) равномерно относительно  x ∈ R и 1 < n < N/2, а также приближают такую функцию f(x) со скоростью  O(1/n^2) вне сколь угодно малых окрестностей, содержащих точки <<излома>> рассматриваемой ломаной f(x). Кроме того, на примерах показано, что полиномы L n,N (f,x) приближают кусочно-линейную разрывную функцию со скоростью O(1/n) вне сколь угодно малых окрестностей, сожержащих точки разрыва f(x). Особое внимание уделено приближению полиномами L n,N (f,x) 2π-периодических функций f_1 и f_2 , которые на отрезке [−π,π] совпадают с функциями |x| и sign x соответственно. Для первой из этих функций показано, что вместо оценки |f 1 (x) − L n,N (f 1 ,x)| < cln n/n, вытекающей из известного неравенства Лебега для полиномов  L n,N (f,x), установлена точная по порядку оценка |f 1 (x) − L n,N (f 1 ,x)| < c/n (x ∈ R), которая имеет место равномерно относительно  1 < n < ⌊N/2⌋. Кроме того, получена локальная оценка  |f_1 (x) − L n,N (f_1 ,x)| < c(ε)/n^2 (|x − πk| > ε), которая также имеет место равномерно относительно 1 < n < ⌊N/2⌋. Что касается второй из указанных функций  f_2 (x), то для нее равномерно относительно  1 < n < ⌊N/2⌋ получена оценка |f_2 (x) − L n,N (f_2 ,x)| < c(ε)/n (|x − πk| > ε). Доказательства полученых оценок базируются на сравнении аппроксимативных свойств дискретных и непрерывных тригонометрических сумм Фурье.