Образец для цитирования:

Ignatyev M. Y. Asymptotics of Solutions of Some Integral Equations Connected with Differential Systems with a Singularity [Игнатьев М. Ю. Асимптотики решений некоторых интегральных уравнений, связанных с дифференциальными системами с особенностью] // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2020. Т. 20, вып. 1. С. 17-28. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2020-20-1-17-28


Опубликована онлайн: 
02.03.2020
Язык публикации: 
английский
Рубрика: 
УДК: 
517.984

Asymptotics of Solutions of Some Integral Equations Connected with Differential Systems with a Singularity
[Асимптотики решений некоторых интегральных уравнений, связанных с дифференциальными системами с особенностью]

Аннотация: 

В работе изучаются некоторые аспекты теории рассеяния для сингулярных систем дифференциальных уравнений y ′ − x −1Ay − q(x)y = ρBy, x > 0 со спектральным параметром ρ, где A, B, q(x), x ∈ (0, ∞) — n × n матрицы, причем матрицы A, B постоянны. Основным предметом исследования являются некоторые вольтерровские интегральные уравнения относительно тензорно-значных функций. Решения этих уравнений играют центральную роль в построении так называемых решений типа Вейля для исходной системы дифференциальных уравнений. Поскольку классические методы при наличии особенности оказываются неприменимыми, изучение рассматриваемых интегральных уравнений становится в этом случае ключевым этапом исследования аналитических и асимптотических свойств решений типа Вейля. В данной работе мы рассматриваем важный частный случай, когда матрица-функция q(·) является гладкой и q(0) = 0. В этом случае для решений рассматриваемых интегральных уравнений удается получить асимптотические разложения при ρ → ∞ с оценкой остаточного члена o ρ −1 . Полученный результат позволяет получить асимптотики для решений типа Вейля, играющие, в свою очередь, важную роль при исследовании обратной задачи рассеяния.

Библиографический список

1. Brunnhuber R., Kostenko A., Teschl G. Singular Weyl – Titchmarsh – Kodaira theory for one-dimensional Dirac operators. Monatshefte fur Mathematik ¨ , 2014, vol. 174, pp. 515– 547. DOI: https://doi.org/10.1007/s00605-013-0563-5
2. Albeverio S., Hryniv R., Mykytyuk Ya. Reconstruction of radial Dirac operators. J. Math. Phys., 2007, vol. 48, iss. 4, 043501, 14 p. DOI: https://doi.org/10.1063/1.2709847
3. Albeverio S., Hryniv R., Mykytyuk Ya. Reconstruction of radial Dirac and Schr´’odinger operators from two spectra. J. Math. Anal. Appl., 2008, vol. 339, iss. 1, pp. 45–57. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2007.06.034
4. Serier F. Inverse Problems Inverse spectral problem for singular Ablowitz–Kaup–Newell–Segur operators on [0, 1]. Inverse Problems, 2006, vol. 22, no. 4, pp. 1457–1484. DOI: https://doi.org/10.1088/0266-5611/22/4/018
5. Gorbunov O. B., Shieh C.-T., Yurko V. A. Dirac system with a singularity in an interior point. Applicable Analysis, 2016, vol. 95, iss. 11, pp. 2397–2414. DOI: https://doi.org/10.1080/00036811.2015.1091069
6. Beals R., Coifman R. R. Scattering and inverse scattering for first order systems. Comm. Pure Appl. Math., 1984, vol. 37, iss. 1, pp. 39–90. DOI: https://doi.org/10.1002/cpa.3160370105
7. Zhou X. Direct and inverse scattering transforms with arbitrary spectral singularities. Comm. Pure Appl. Math. 1989, vol. 42, iss. 7, pp. 895–938. DOI: https://doi.org/10.1002/cpa.3160420702
8. Yurko V. A. Inverse spectral problems for differential systems on a finite interval. Results Math., 2005, vol. 48, iss. 3–4, pp. 371–386. DOI: https://doi.org/10.1007/BF03323374
9. Ignatyev M. Spectral analysis for differential systems with a singularity. Results Math., 2017, vol. 71, iss. 3–4, pp. 1531–1555. DOI: https://doi.org/10.1007/s00025-016-0605-0
10. Yurko V. A. On higher-order differential operators with a singular point. Inverse Problems, 1993, vol. 9, no. 4, pp. 495–502. DOI: https://doi.org/10.1088/0266-5611/9/4/004
11. Fedoseev A. E. Inverse problems for differential equations on the half-line having a singularity in an interior point. Tamkang Journal of Mathematics, 2011, vol. 42, no. 3, pp. 343–354. DOI: https://doi.org/10.5556/j.tkjm.42.2011.879
12. Beals R., Deift P., Tomei C. Direct and inverse scattering on the line. Providence, Rhod Island, American Mathematical Society, 1988. 209 p.
13. Sibuya Yu. Stokes phenomena. Bull. Amer. Math. Soc., 1977, vol. 83, no. 5, pp. 1075– 1077.
14. Ignatiev M. Integral transforms connected with differential systems with a singularity. Tamkang Journal of Mathematics, 2019, vol. 50, no. 3, pp. 253–268. DOI: https://doi.org/10.5556/j.tkjm.50.2019.3353 

Полный текст в формате PDF: