Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Ignatyev M. Y. Reconstruction formula for differential systems with a singularity [Игнатьев М. Ю. Формула восстановления для систем дифференциальных уравнений с особенностью] // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2021. Т. 21, вып. 3. С. 282-293. DOI: 10.18500/1816-9791-2021-21-3-282-293


Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
31.08.2021
Полный текст:
(downloads: 81)
Язык публикации: 
английский
Рубрика: 
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.984

Reconstruction formula for differential systems with a singularity
[Формула восстановления для систем дифференциальных уравнений с особенностью]

Авторы: 
Игнатьев М. Ю., Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского
Аннотация: 

В работе изучаются некоторые аспекты теории рассеяния для сингулярных систем дифференциальных уравнений $y'-x^{-1}Ay-q(x)y=\rho By$, $x>0$ со спектральным параметром $\rho$, где $A,B, q(x), x\in(0,\infty)$ --- $n\times n$ матрицы, причем матрицы $A,B$ постоянны. В данной работе мы рассматриваем важный частный случай, когда матрица-функция $q(\cdot)$ является гладкой и $q(0)=0$. В этом случае для $q(\cdot)$ получено выражение в виде контурного интеграла, где ядро записывается в терминах решений типа Вейля рассматриваемой системы. Формулы такого типа играют важную роль в конструктивном решении обратных задач рассеяния: применение формул, где величины, стоящие в правой части, предварительно найдены из так называемого основного уравнения, является завершающим шагом процедуры решения. Для вывода указанных формул восстановления мы предварительно устанавливаем асимптотики решений типа Вейля при $\rho\to\infty$ с оценкой остаточного члена $o\left(\rho^{-1}\right)$.

Благодарности: 
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 19-01-00102, 20-31-70005).
Список источников: 
  1. Brunnhuber R., Kostenko A., Teschl G. Singular Weyl – Titchmarsh – Kodaira theory for one-dimensional Dirac operators. Monatshefte fur Mathematik, 2014, vol. 174, pp. 515– 547. https://doi.org/10.1007/s00605-013-0563-5
  2. Albeverio S., Hryniv R., Mykytyuk Ya. Reconstruction of radial Dirac operators. Journal of Mathematical Physics. 2007, vol. 48, 043501, 14 p.
  3. Albeverio S., Hryniv R., Mykytyuk Ya. Reconstruction of radial Dirac and Schrodinger operators from two spectra. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2008, vol. 339, iss. 1, pp. 45–57. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2007.06.034
  4. Serier F. Inverse spectral problem for singular Ablowitz – Kaup – Newell – Segur operators on [0; 1]. Inverse Problems, 2006, vol. 22, no. 4, pp. 1457–1484. https://doi.org/10.1088/0266-5611/22/4/018
  5. Gorbunov O. B., Shieh C.-T., Yurko V. A., Dirac system with a singularity in an interior point. Applicable Analysis, 2016, vol. 95, iss. 11, pp. 2397–2414. https://doi.org/10.1080/00036811.2015.1091069
  6. Beals R., Coifman R. R. Scattering and inverse scattering for first order systems. Communications on Pure and Applied Mathematics, 1984, vol. 37, iss. 1, pp. 39–90. https://doi.org/10.1002/cpa.3160370105 
  7. Zhou X. Direct and inverse scattering transforms with arbitrary spectral singularities. Communications on Pure and Applied Mathematics, 1989, vol. 42, iss. 7, pp. 895–938. https://doi.org/10.1002/cpa.3160420702
  8. Yurko V. A. Inverse spectral problems for differential systems on a finite interval. Results in Mathematics, 2006, vol. 48, no. 3–4, pp. 371–386. https://doi.org/10.1007/BF03323374
  9. Yurko V. A. On higher-order differential operators with a singular point. Inverse Problems, 1993, vol. 9, no. 4, pp. 495–502. https://doi.org/10.1088/0266-5611/9/4/004
  10. Yurko V. A. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory. (Inverse and Ill-Posed Problems Series, vol. 31). Utrecht, VSP, 2002. 303 p. https://doi.org/10.1515/9783110940961
  11. Sibuya Y. Stokes phenomena. Bulletin of the American Mathematical Society, 1977, vol. 83, no. 5, pp. 1075–1077. https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1977-14391-7
  12. Ignatyev M. Spectral analysis for differential systems with a singularity. Results in Mathematics, 2017, vol. 71, iss. 3–4, pp. 1531–1555. https://doi.org/10.1007/s00025-016-0605-0
  13. Ignatiev M. Yu. Asymptotics of solutions of some integral equations connected with differential systems with a singularity. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2020, vol. 20, iss. 1, pp. 17–28. https://doi.org/10.18500/1816-9791- 2020-20-1-17-28
  14. Ignatiev M. Yu. On Weyl-type solutions of differential systems with a singularity. The case of discontinuous potential. Mathematical Notes, 2020, vol. 108, no. 6, pp. 814–826. https://doi.org/10.1134/S0001434620110243
Поступила в редакцию: 
20.12.2020
Принята к публикации: 
22.01.2021
Опубликована: 
31.08.2021