В работе изучаются некоторые аспекты теории рассеяния для сингулярных систем дифференциальных уравнений $y'-x^{-1}Ay-q(x)y=\rho By$, $x>0$ со спектральным параметром $\rho$, где $A,B, q(x), x\in(0,\infty)$ --- $n\times n$ матрицы, причем матрицы $A,B$ постоянны. В данной работе мы рассматриваем важный частный случай, когда матрица-функция $q(\cdot)$ является гладкой и $q(0)=0$. В этом случае для $q(\cdot)$ получено выражение в виде контурного интеграла, где ядро записывается в терминах решений типа Вейля рассматриваемой системы. Формулы такого типа играют важную роль в конструктивном решении обратных задач рассеяния: применение формул, где величины, стоящие в правой части, предварительно найдены из так называемого основного уравнения, является завершающим шагом процедуры решения. Для вывода указанных формул восстановления мы предварительно устанавливаем асимптотики решений типа Вейля при $\rho\to\infty$ с оценкой остаточного члена $o\left(\rho^{-1}\right)$.