Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Образец для цитирования:

Чумаченко С. А. Гладкие аппроксимации в C[0, 1] // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2020. Т. 20, вып. 3. С. 326-342. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2020-20-3-326-342

Опубликована онлайн: 
31.08.2020
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
УДК: 
501.1

Гладкие аппроксимации в C[0, 1]

Авторы: 
Чумаченко Сергей Алексеевич, Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского
Аннотация: 

Первый ортонормированный базис в пространстве непрерывных функций был построен Хааром в 1909 г. Фабер в 1910 г. проинтегрировал систему Хаара и получил первый пример базиса в пространстве непрерывных функций, состоящего из непрерывных функций. Эту систему переоткрыл в 1927 г. Шаудер. Все функции Фабера – Шаудера являются кусочно-линейными, а частичные суммы есть вписанные ломаные. В дальнейшем предпринимались попытки построить гладкие аналоги базиса Фабера – Шаудера. В 1965 г. это удалось К. М. Шайдукову. Построенные им функции были гладкими, но состояли из дуг парабол. Шайдукову удалось доказать равномерную сходимость полученных разложений, но не удалось получить оценки отклонения. Иной аналог системы Фабера – Шаудера в 2007 г. предложили Т. У. Аубакиров и Н. А. Бокаев. Они построили класс функций, которые образуют базис в пространстве непрерывных функций, получили оценки отклонения частичных сумм от приближаемой функции. Построенные в их работе функции были, как и в системе Фабера – Шаудера, кусочно-линейными. Система Фабера – Шаудера входит в построенный ими класс систем. В настоящей статье мы строим гладкие аналоги системы Фабера – Шаудера и получаем оценки отклонения частичных сумм от приближаемой функции. Построенные системы являются системами сжатий и сдвигов одной функции, которую мы называем двоичным базисным сплайном. Каждый такой двоичный базисный сплайн есть интеграл n-го порядка от функции Уолша W2n −1. Таким образом, нам удалось построить аналоги системы Фабера – Шаудера со сколь угодно большой степенью гладкости и получить для разложений по этим системам оценки отклонения в терминах модулей непрерывности.

Дата поступления: 
18.12.2019
Тип статьи для РИНЦ: 
RAR - научная статья
DOI: 
10.18500/1816-9791-2020-20-3-326-342
Библиографический список: 
  1. Faber G. Uber die ortogonalenfunctionen des Herrn Haar // Jahresber. Deutsch Math. Verein. 1910. Vol. 19. P. 104–112.
  2. Schauder J. Zur Theorie stetiger Abbildungen in Fimktionalraumen // Math. Z. 1927. Bd. 26. P. 47–65.
  3. Матвеев В. А. О рядах по системе Шаудера // Матем. заметки. 1967. Т. 2, вып. 3. С. 267–278.
  4. Ciesielski Z. Some properties of Schauder basis of space C[0, 1] // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys. 1960. Vol. 3. P. 141–144.
  5. Бочкарев С. В. О рядах по системе Шаудера // Матем. заметки. 1968. Т. 4, вып. 4. C. 453–460.
  6. Ульянов П. Л. О некоторых свойствах рядов по системе Шаудера // Матем. заметки. 1970. Т. 7, вып. 4. C. 431–442.
  7. Сабурова Т. Н. Суперпозиции функций и их ряды по системе Фабера –Шаудера // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1972. Т. 36, вып. 2. C. 401–422.
  8. Горячев А. П. О коэффициентах Фурье по системе Фабера –Шаудера // Матем. заметки. 1974. Т. 15, вып. 2. C. 341–352.
  9. Абрамова В. В. О системе Фабера –Шаудера на треугольнике // Математика. Механика. 2015. Вып. 17. C. 3–6.
  10. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды : М. : АФЦ, 1999. 550 c.
  11. Аубакиров Т. У., Бокаев Н. А. О новом классе систем функций типа Фабера –Шаудера // Матем. заметки. 1974. Т. 82, вып. 5. C. 643–651. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm3840
  12. Шайдуков К. М. О базисах в пространстве непрерывных функций, построенных из дуг парабол // Учен. зап. Казан. ун-та. 1965. Т. 125, № 2. C. 133–142.
  13. Лукомский С. Ф., Терехин П. А., Чумаченко С. А. Хаосы Радемахера в задачах построения сплайновых аффинных систем // Матем. заметки. 2018. Т. 103, вып. 6. C. 863–874. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm11654
  14. Чумаченко С. А. Об одном из аналогов системы Фабера –Шаудера // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского. Казань, 2016. Т. 53. С. 163–164.
Полный текст в формате PDF:
(downloads: 224)