Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Новиков В. В. Исправление функций и интерполяция типа Лагранжа – Якоби // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, вып. 1. С. 24-35. DOI: 10.18500/1816-9791-2023-23-1-24-35, EDN: CQXPUH

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
01.03.2023
Полный текст:
(downloads: 1006)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.51
EDN: 
CQXPUH

Исправление функций и интерполяция типа Лагранжа – Якоби

Авторы: 
Новиков Владимир Васильевич, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского
Аннотация: 

Известно, что интерполяционный процесс Лагранжа с узлами в нулях многочленов Чебышева может расходиться всюду (с произвольными узлами — почти всюду), подобно ряду Фурье суммируемой функции. В то же время  известно, что любую измеримую (конечную почти всюду) функцию можно исправить на множестве сколь угодно малой меры так, что ее ряд Фурье станет равномерно сходящимся (так называемое усиленное $C$-свойство). Возникает вопрос, не обладает ли класс непрерывных функций подобным свойством по отношению к интерполяционному процессу по той или иной матрице узлов? В настоящей работе показано, что существует матрица узлов интерполирования $\mathfrak{M}_\gamma$, как угодно близкая к матрице узлов Якоби $\mathfrak{M}^{(\alpha,\beta)}$, $\alpha,\beta>-1$, такая, что после исправления (с сохранением непрерывности) функции $f\in{C[-1,1]}$ на множестве как угодно малой меры интерполяционный процесс с узлами $ \mathfrak{M}\gamma$ будет сходиться к исправленной функции равномерно на $[a,b]\in (-1,1)$.

Список источников: 
  1. Grunwald G. Uber Divergenzerscheinungen der Lagrangeschen Interpolationspolynome Stetiger Funktionen // Annals of Mathematics. 1936. Vol. 37, № 4. P. 908–918. https://doi.org/10.2307/1968627
  2. Marcinkiewicz J. Sur la divergence des polynomes d’interpolation // Acta litterarum ac scientiarum Regiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae : Sectio scientiarum mathematicarum. 1937. Vol. 8. P. 131–135.
  3. Erdos P., Vertesi P. On the almost everywhere divergence of Lagrange interpolatory polynomials for arbitrary system of nodes // Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae. 1980. Vol. 36, iss. 1–2. P. 71–89. https://doi.org/10.1007/BF01897094
  4. Menchoff D. Sur les series de Fourier des fonctions continues [О рядах Фурье от непрерывных функций] // Математический сборник. 1940. Т. 8 (50), № 3. C. 493–518. URL: https://mi.mathnet.ru/sm6044 (дата обращения: 30.03.2022).
  5. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. Москва : Физматгиз, 1961. 936 с.
  6. Натансон Г. И. Двусторонняя оценка функции Лебега интерполяционного процесса Лагранжа с узлами Якоби // Известия вузов. Математика. 1967. № 11. С. 67–74. URL: https://mi.mathnet.ru/ivm3239 (дата обращения: 30.03.2022).
  7. Привалов А. А. Критерий равномерной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа // Известия вузов. Математика. 1986. № 5. C. 49–59. URL: https://mi.mathnet.ru/ivm7554 (дата обращения: 30.03.2022).
  8. Неваи Г. П. Замечания об интерполировании // Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae. 1974. Vol. 25, iss. 1–2. P. 123–144. https://doi.org/10.1007/BF01901754
  9. Сегё Г. Ортогональные многочлены. Москва : Физматлит, 1962. 500 с.
  10. Новиков В. В. Исправление функций и интерполяция Лагранжа в узлах, близких к узлам Якоби // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 20-й междунар. Сарат. зимн. шк. (Саратов, 28 января –1 февраля 2020 г.). Саратов : Научная книга, 2020. С. 277–280. EDN: BJDTHR
Поступила в редакцию: 
31.03.2022
Принята к публикации: 
01.10.2022
Опубликована: 
01.03.2023