Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Berdnikov G. S. Necessary and Sufficient Condition for an Orthogonal Scaling Function on Vilenkin Groups [Бердников Г. С. Необходимое и достаточное условие ортогональной масштабирующей функции на группах Виленкина] // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2019. Т. 19, вып. 1. С. 24-33. DOI: 10.18500/1816-9791-2019-19-1-24-33, EDN: MGDLWO


Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
28.02.2019
Полный текст:
(downloads: 109)
Язык публикации: 
английский
Рубрика: 
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.986.62
EDN: 
MGDLWO

Necessary and Sufficient Condition for an Orthogonal Scaling Function on Vilenkin Groups
[Необходимое и достаточное условие ортогональной масштабирующей функции на группах Виленкина]

Авторы: 
Бердников Глеб Сергеевич, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского
Аннотация: 

Существуют несколько подходов к задаче построения ортогонального кратномасштабного анализа на группах Виленкина, но все они сводятся к поиску так называемой масштабирующей функции. В 2005 г. Ю. А. Фарков использовал так называемые «блокированные» множества, чтобы строить все возможные масштабирующие функции с компактным носителем и ограниченной частотной полосой для каждого набора неких параметров, его условия оказались необходимыми и достаточными. С. Ф. Лукомский, Ю. С. Крусс и Г. С. Бердников представили другой подход в 2014–2015 гг., который имеет некие преимущества перед другими и использует аппарат дискретной математики для достижения тех же целей. Результатом этого подхода является алгоритм построения ортогональных масштабирующих функций с ограниченной частотной полосой и компактным носителем в конкретном виде, используя некий класс ориентированных графов, которые, в свою очередь, строятся по так называемым N-валидным деревьям, введенным теми же авторами в 2012 г. До этого момента, однако, было неизвестно, достаточно ли этот алгоритм хорош, чтобы порождать любую из возможных ортогональных масштабирующих функций такого класса. Эта работа описывает вышеупомянутый алгоритм и доказывает, что его можно воспринимать как необходимое и достаточное условие, то есть он может порождать любую возможную ортогональную масштабирующую функцию. Дополнительно мы получим другое, более удобное описание интересующего нас класса ориентированных графов.

Список источников: 
  1. Protasov V. Yu., Farkov Yu. A. Dyadic wavelets and refinable functions on a half-line. Sb. Math., 2006, vol. 197, iss. 10, pp. 1529–1598. DOI: https://doi.org/10.1070/SM2006v197n10ABEH003811
  2. Farkov Yu. А. Biorthogonal dyadic wavelets on R+. Russian Math. Surveys, 2007, vol. 62, iss. 6, pp. 1197–1198. DOI: https://doi.org/10.1070/RM2007v062n06ABEH004494
  3. Protasov V. Yu. Dyadic wavelet approximaion. Sb. Math., 2007, vol. 198, iss. 11, pp. 1665– 1681. DOI: https://doi.org/10.1070/SM2007v198n11ABEH003900
  4. Farkov Yu. A. Orthogonal wavelets with compact support on locally compact Abelian groups. Izv. Math., 2005, vol. 69, iss. 3, pp. 623–650. DOI: https://doi.org/10.1070/IM2005v069n03ABEH000540
  5. Farkov Yu. A. Orthogonal wavelets on direct products of cyclic groups. Math. Notes, 2007, vol. 82, iss. 5, pp. 843–859.
  6. Lukomskii S. F. Multiresolution analysis on zero-dimensional Abelian groups and wavelets bases. Sb. Math., 2010, vol. 201, iss. 5, pp. 669–691. DOI: https://doi.org/10.1070/SM2010v201n05ABEH004088
  7. Lukomskii S. F. Step refinable functions and orthogonal MRA on Vilenkin groups. J. Fourier Anal. Appl., 2014, vol. 20, iss. 1, pp. 42–65. DOI: https://doi.org/10.1007/s00041-013-9301-6
  8. Lukomskii S. F. Riesz Multiresolution Analysis on Vilenkin Groups. Dokl. Math., 2014, vol. 90, iss. 1, pp. 412–415. DOI: https://doi.org/10.1134/S1064562414040061
  9. Lukomskii S. F. Riesz multiresolution analysis on zero-dimensional groups. Izv. Math., 2015, vol. 79, iss. 1, pp. 145–176. DOI: https://doi.org/10.1070/IM2015v079n01ABEH002737
  10. Lukomskii S. F., Berdnikov G. S. N-Valid trees in wavelet theory on Vilenkin groups. Int. J. Wavelets Multiresolut. Inf. Process, 2015, vol. 13, no. 05, 1550037. DOI: https://doi.org/10.1142/S021969131550037X
  11. Berdnikov G. S., Lukomskii S. F., Kruss Iu. S. On orthogonal systems of shifts of scaling function on local fields of positive characteristic. Turk. J. Math., 2017, vol. 41, pp. 244–253. DOI: https://doi.org/10.3906/mat-1504-7
Поступила в редакцию: 
16.10.2018
Принята к публикации: 
18.12.2018
Опубликована: 
28.02.2019
Краткое содержание:
(downloads: 102)