Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Блинков Ю. А., Малых М. Д., Севастьянов Л. А. О дифференциальных приближениях разностных схем // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2021. Т. 21, вып. 4. С. 472-488. DOI: 10.18500/1816-9791-2021-21-4-472-488, EDN: BBTOTY

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
30.11.2021
Полный текст:
(downloads: 829)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.98
EDN: 
BBTOTY

О дифференциальных приближениях разностных схем

Авторы: 
Блинков Юрий Анатольевич, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского
Малых Михаил Дмитриевич, Российский университет дружбы народов имени Патриса Лумумбы
Севастьянов Леонид Антонович, Российский университет дружбы народов имени Патриса Лумумбы
Аннотация: 

Понятие первого дифференциального приближения было введено в 1950-х годах для анализа разностных схем А. И. Жуковым и затем применялось для исследования качества разностных схем, возникающих при аппроксимации уравнений в частных производных. В настоящей работе первое дифференциальное приближение рассматривается как универсальная конструкция, позволяющая использовать методы компьютерной алгебры для исследования разностных схем, минуя прямое использование методов теории разностной алгебры. В первом разделе рассмотрено дифференциальное приближение для разностных схем, описывающих обыкновенные дифференциальные уравнения. Обсуждена связь между дифференциальным приближением, сингулярным возмущением исходной системы и понятием первого дифференциального приближения. Для этого простого случая показана связь между методом оценки ошибки аппроксимации решения, основанным на анализе первого дифференциального приближения, и методом Ричардсона – Калиткина. Во втором разделе обсуждаются дифференциальные приближения для разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные уравнения в частных производных. Понятие первого дифференциального приближения описано на языке степенной геометрии. Показано, что при аппроксимации совместной системы дифференциальных уравнений в частных производных не всегда получаются совместные разностные системы уравнений. В качестве способа проверки совместности системы разностных уравнений предлагается проверять совместность первого дифференциального приближения для разностной системы. С этих позиций обсуждается понятие полной совместности системы разностных уравнений. Приведено несколько примеров не вполне совместных систем. Для анализа совместности первого дифференциального приближения используется программное обеспечение, разработанное для исследования дифференциальных уравнений в частных производных. Рассмотрены вопросы вычисления первого дифференциального приближения в системах компьютерной алгебры, Sage и SymPy.

Благодарности: 
Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 20-11-20257).
Список источников: 
  1. Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Математический сборник. 1959. Т. 47, № 3. С. 271–306.
  2. Яненко Н. Н., Шокин Ю. И. О первом дифференциальном приближении разностных схем для гиперболических систем уравнений // Сибирский математический журнал. 1969. Т. 10, № 5. С. 1173–1187.
  3. Шокин Ю. И. Метод дифференциального приближения. Новосибирск : Наука ; АН СССР. Сибирское отделение. Институт теоретической и прикладной механики, 1979. 222 с.
  4. Шокин Ю. И., Яненко Н. Н. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. Новосибирск : Наука ; АН СССР. Сибирское отделение. Институт теоретической и прикладной механики. Вычислительный центр (Красноярск), 1985. 364 с.
  5. Levin A. Difference Algebra. Springer, 2008. 521 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4020-6947-5
  6. van der Put M., Singer M. F. Galois Theory of Difference Equations. Springer, 1997. 188 p. https://doi.org/10.1007/BFb0096118
  7. Hendriks P. A. Algebraic aspects of linear differential and difference equations. University of Groningen, 1996. PhD thesis. 106 p.
  8. Weierstrass K. Uber der Theorie der analytischen Facultaten // Mathematische werke. Berlin : Mayer & Muller, 1894. Vol. 1. P. 153–221.
  9. Grammaticos B., Nijhoff F. W., Ramani A. Discrete Painleve equations // The Painleve Property, One Century Later. Berlin, Heidelberg : Springer, 1999. P. 413–516.
  10. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теоpии сингуляpных возмущений. Москва : Высшая школа, 1990. 208 с.
  11. Калиткин Н. Н., Альшин А. Б., Альшина Е. А., Рогов Б. В. Вычисления на квазиравномерных сетках. Москва : Наука ; Физматлит, 2005. 204 с.
  12. Брюно А. Д. Решение алгебраического уравнения алгоритмами степенной геометрии. Москва : Наука, 1998. 288 с.
  13. Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях // Препринты ИПМ № 34. Москва : ИПМ имени Келдыша, 2017. С. 1–18.
  14. Zhang Xiaojing, Gerdt V. P., Blinkov Yu. A. Algebraic Construction of a Strongly Consistent, Permutationally Symmetric and Conservative Difference Scheme for 3D Steady Stokes Flow // Symmetry. 2019. Vol. 11, № 2. URL: https://www.mdpi.com/2073-8994/11/2/269 (дата обращения: 10.05.2021).
  15. Robertz D. Formal Algorithmic Elimination for PDEs. Springer, 2014. 284 p.
  16. Hans Johnston, Jian-Guo Liu. Finite difference schemes for incompressible flow based on local pressure boundary conditions // Journal of Computational Physics. 2002. № 180. P. 120–154.
Поступила в редакцию: 
29.06.2021
Принята к публикации: 
15.07.2021
Опубликована: 
30.11.2021