Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Блинков Ю. А., Малых М. Д., Севастьянов Л. А. О дифференциальных приближениях разностных схем // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2021. Т. 21, вып. 4. С. 472-488. DOI: 10.18500/1816-9791-2021-21-4-472-488

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
30.11.2021
Полный текст:
(downloads: 5)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.98

О дифференциальных приближениях разностных схем

Авторы: 
Блинков Юрий Анатольевич, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского
Малых Михаил Дмитриевич, Российский университет дружбы народов (РУДН)
Севастьянов Леонид Антонович, Российский университет дружбы народов (РУДН)
Аннотация: 

Понятие первого дифференциального приближения было введено в 1950-х годах для анализа разностных схем А. И. Жуковым и затем применялось для исследования качества разностных схем, возникающих при аппроксимации уравнений в частных производных. В настоящей работе первое дифференциальное приближение рассматривается как универсальная конструкция, позволяющая использовать методы компьютерной алгебры для исследования разностных схем, минуя прямое использование методов теории разностной алгебры. В первом разделе рассмотрено дифференциальное приближение для разностных схем, описывающих обыкновенные дифференциальные уравнения. Обсуждена связь между дифференциальным приближением, сингулярным возмущением исходной системы и понятием первого дифференциального приближения. Для этого простого случая показана связь между методом оценки ошибки аппроксимации решения, основанным на анализе первого дифференциального приближения, и методом Ричардсона – Калиткина. Во втором разделе обсуждаются дифференциальные приближения для разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные уравнения в частных производных. Понятие первого дифференциального приближения описано на языке степенной геометрии. Показано, что при аппроксимации совместной системы дифференциальных уравнений в частных производных не всегда получаются совместные разностные системы уравнений. В качестве способа проверки совместности системы разностных уравнений предлагается проверять совместность первого дифференциального приближения для разностной системы. С этих позиций обсуждается понятие полной совместности системы разностных уравнений. Приведено несколько примеров не вполне совместных систем. Для анализа совместности первого дифференциального приближения используется программное обеспечение, разработанное для исследования дифференциальных уравнений в частных производных. Рассмотрены вопросы вычисления первого дифференциального приближения в системах компьютерной алгебры, Sage и SymPy.

Благодарности: 
Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 20-11-20257).
Список источников: 
  1. Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Математический сборник. 1959. Т. 47, № 3. С. 271–306.
  2. Яненко Н. Н., Шокин Ю. И. О первом дифференциальном приближении разностных схем для гиперболических систем уравнений // Сибирский математический журнал. 1969. Т. 10, № 5. С. 1173–1187.
  3. Шокин Ю. И. Метод дифференциального приближения. Новосибирск : Наука ; АН СССР. Сибирское отделение. Институт теоретической и прикладной механики, 1979. 222 с.
  4. Шокин Ю. И., Яненко Н. Н. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. Новосибирск : Наука ; АН СССР. Сибирское отделение. Институт теоретической и прикладной механики. Вычислительный центр (Красноярск), 1985. 364 с.
  5. Levin A. Difference Algebra. Springer, 2008. 521 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4020-6947-5
  6. van der Put M., Singer M. F. Galois Theory of Difference Equations. Springer, 1997. 188 p. https://doi.org/10.1007/BFb0096118
  7. Hendriks P. A. Algebraic aspects of linear differential and difference equations. University of Groningen, 1996. PhD thesis. 106 p.
  8. Weierstrass K. Uber der Theorie der analytischen Facultaten // Mathematische werke. Berlin : Mayer & Muller, 1894. Vol. 1. P. 153–221.
  9. Grammaticos B., Nijhoff F. W., Ramani A. Discrete Painleve equations // The Painleve Property, One Century Later. Berlin, Heidelberg : Springer, 1999. P. 413–516.
  10. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теоpии сингуляpных возмущений. Москва : Высшая школа, 1990. 208 с.
  11. Калиткин Н. Н., Альшин А. Б., Альшина Е. А., Рогов Б. В. Вычисления на квазиравномерных сетках. Москва : Наука ; Физматлит, 2005. 204 с.
  12. Брюно А. Д. Решение алгебраического уравнения алгоритмами степенной геометрии. Москва : Наука, 1998. 288 с.
  13. Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях // Препринты ИПМ № 34. Москва : ИПМ имени Келдыша, 2017. С. 1–18.
  14. Zhang Xiaojing, Gerdt V. P., Blinkov Yu. A. Algebraic Construction of a Strongly Consistent, Permutationally Symmetric and Conservative Difference Scheme for 3D Steady Stokes Flow // Symmetry. 2019. Vol. 11, № 2. URL: https://www.mdpi.com/2073-8994/11/2/269 (дата обращения: 10.05.2021).
  15. Robertz D. Formal Algorithmic Elimination for PDEs. Springer, 2014. 284 p.
  16. Hans Johnston, Jian-Guo Liu. Finite difference schemes for incompressible flow based on local pressure boundary conditions // Journal of Computational Physics. 2002. № 180. P. 120–154.
Поступила в редакцию: 
29.06.2021
Принята к публикации: 
15.07.2021
Опубликована: 
30.11.2021