Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Рубинштейн А. И., Теляковский Д. С. О функциях типа ван дер Вардена // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, вып. 3. С. 339-347. DOI: 10.18500/1816-9791-2023-23-3-339-347, EDN: BUXAKG

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
31.08.2023
Полный текст:
(downloads: 763)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.518.153
EDN: 
BUXAKG

О функциях типа ван дер Вардена

Авторы: 
Рубинштейн Александр Иосифович, Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ
Теляковский Дмитрий Сергеевич, Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ
Аннотация: 

Пусть $\omega(t)$ — произвольная функция типа модуля непрерывности, у которой $\omega(t)/t\to+\infty$ при $t\to+0$. Для $\omega(t)$ на отрезке $[0;1]$ построена непрерывная нигде не дифференцирумая функция $V_\omega(x)$ типа ван дер Вардена, для которой выполнены следующие условия: 1) модуль непрерывности функции $V_\omega(x)$ удовлетворяет оценке $O(\omega(t))$ при $t\to+0$; 2) найдется число $c>0$, для которого в каждой точке $x_0$ при ${x\to x_0}$ выполнено $\limsup{|V_\omega(x){-}V_\omega(x_0)|}\big/{\omega(|x{-}x_0|)}>c$; 3) в каждой точке $x_0$ при ${x\to x_0}$ выполнено $\liminf{|V_\omega(x){-}V_\omega(x_0)|}\big/{\omega(|x{-}x_0|)}=0$.

Список источников: 
  1. Ефимов А. В. Линейные методы приближения непрерывных периодических функций // Математический сборник. 1961. Т. 54 (96), вып. 1. С. 51–90.
  2. Bolzano B. Functionenlehre // Bolzano B., Petr K., Rychlik K. Bernard Bolzano’s Schriften. Band 1. Praha, Kralovska ceska spolecnost nauk v Praze, 1930. P. 80–184.
  3. Takagi T. A simple example of a continuos function without derivative // Tokyo Sugaku-Butsurigakkwai Hokoku. 1901. Vol. 1. P. 176–177. https://doi.org/10.11429/subutsuhokoku1901.1.F176
  4. van der Waerden B. L. Ein einfaches Beispiel einer nicht-differenzierbaren stetigen Funktion // Mathematische Zeitschrift. 1930. Vol. 32. P. 474–475. https://doi.org/10.1007/BF01194647
  5. Рубинштейн А. И. Об w-лакунарных рядах и о функциях классов Hw // Математический сборник. 1964. Т. 65 (107), вып. 2. С. 239–271.
  6. Weierstrass K. Uber continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die fur keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen // Ausgewahlte Kapitel aus der Funktionenlehre: Vorlesung, gehalten in Berlin 1886 Mit der akademischen Antrittsrede, Berlin 1857, und drei weiteren Originalarbeiten von K. Weierstrass aus den Jahren 1870 bis 1880/86. Wiesbaden : Vieweg+Teubner Verlag, 1988. P. 190–193. https://doi.org/10.1007/978-3-322-91273-2_5
  7. Теляковский Д. С. Об условиях моногенности // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 21-й междунар. Саратовской зимней школы (Саратов, 31 января – 4 февраля 2022 г.). Саратов : Саратовский университет [Издание], 2022. Вып. 21. С. 289–293. EDN: CZHBTY
  8. Белов А. С. О локальных свойствах некоторых функций из класса Гельдера // Известия вузов. Математика. 1992. № 8. С. 13–20.
  9. Mishura Y., Schied A. On (signed) Takagi – Landsberg functions: pth variation, maximum, and modulus of continuity // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2019. Vol. 473, iss. 1. P. 258–272. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2018.12.047
  10. Качмаж С., Штейнгаус Г. Теория ортогональных рядов. Москва : ГИФМЛ, 1958. 507 с.
  11. Рубинштейн А. И. Об одном множестве слабо мультипликативных систем // Математические заметки. 2019. Т. 105, вып. 3. С. 471–475. https://doi.org/10.4213/mzm11856, EDN: VWDTVI
  12. Гапошкин В. Ф. О сходимости рядов по слабо мультипликативным системам функций // Математический сборник. 1972. Т. 89 (131), вып. 3 (11). С. 355–365.
Поступила в редакцию: 
26.04.2022
Принята к публикации: 
04.11.2022
Опубликована: 
31.08.2023