Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Ройтенберг В. Ш. О рождении предельного цикла из петли сепаратрисы сшитого седло-узла // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2022. Т. 22, вып. 2. С. 159-168. DOI: 10.18500/1816-9791-2022-22-2-159-168

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
31.05.2022
Полный текст:
(downloads: 359)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.925

О рождении предельного цикла из петли сепаратрисы сшитого седло-узла

Авторы: 
Ройтенберг Владимир Шлеймович, Ярославский государственный технический университет
Аннотация: 

В статье рассматриваются динамические системы на плоскости, задаваемые непрерывными кусочно-гладкими векторными полями. Такие системы используются в качестве математических моделей реальных процессов с переключениями. Важной задачей является нахождение условий рождения периодических траекторий при изменении параметров. В работе описана бифуркация рождения  периодической траектории из петли сепаратрисы сшитого седло-узла — аналог классической бифуркации петли сепаратрисы седло-узла гладкой динамической системы. Рассмотрим однопараметрическое семейство $\{ X_\varepsilon  \} $  непрерывных кусочно-гладких векторных полей на плоскости. Пусть $z^0 $ — точка на линии переключения. Выберем локальные координаты $x$, $y$, в которых  $z^0$ имеет нулевые координаты, а линия переключения задается уравнением $y = 0$. Пусть векторное поле $X_0 $  в полуокрестности $y \ge 0$ ($y \le 0$) совпадает с гладким векторным полем $X_0^ +  $ ($X_0^ -  $), для которого точка $z^0 $  является устойчивым грубым узлом (грубым седлом), а собственные подпространства матрицы линейной части поля в $z^0 $   не совпадают с прямой  $y = 0$.  Особая точка $z^0 $   называется сшитым седло-узлом. Существует единственная траектория $L_0$, $\alpha $-предельная к $z^0 $ — выходящая сепаратриса точки $z^0 $. Предполагается, что она также $\omega $-предельна к $z^0$, причем  входит в $z^0 $ по ведущему направлению узла поля $X_0^ +  $. Для типичного семейства при изменении параметра $\varepsilon $ сшитый седло-узел либо распадается на грубые узел и седло, либо исчезает. В работе доказано, что в последнем случае из контура $L_0  \cup \{ z^0 \} $ рождается единственная периодическая траектория поля $X_\varepsilon$ — устойчивый предельный цикл.

Список источников: 
  1. Андронов А. А., Леонтович Е. А. Некоторые случаи зависимости предельных циклов от параметра // Ученые записки Горьковского государственного университета. 1939. Вып. 6. С. 3–24.
  2. Шильников Л. П. О некоторых случаях рождения периодических движений из особых траекторий // Математический сборник. 1963. Т. 61 (103), № 4. С. 443–466.
  3. Ройтенберг В. Ш. О рождении устойчивых замкнутых траекторий разрывных векторных полей // Математика и математическое образование. Теория и практика : межвуз. сб. науч. тр. Вып. 3. Ярославль : Изд-во ЯГТУ, 2002. С. 19–23.
  4. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Москва : Наука, 1985. 224 с.
  5. di Bernardo M., Budd Ch. J., Capneys A. R., Kowalczyk P. Piecewise-smooth Dynamical Systems. London : Springer, 2008. 483 p. (Applied Mathematical Sciences, vol. 163). https://doi.org/10.1007/978-1-84628-708-4
  6. Guardia M., Seara T. M., Teixeira M. A. Generic bifurcations of low codimension of planar Filippov systems // Journal of Differential Equations. 2011. Vol. 250, no. 4. P. 1967–2023. https://doi.org/10.1016/j.jde.2010.11.0163
  7. Ройтенберг В. Ш. О бифуркациях в окрестности особой точки типа «сшитый трехкратный фокус» // Известия вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2017. № 2 (42). С. 18–31. https://doi.org/10.21685/2072-3040-2017-2-2
  8. Simpson D. J. W. Bifurcations in Piecewise-Smooth Continuous Systems. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2010. 256 p. (World Scientific Series on Nonlinear Science, Series A, vol. 70). https://doi.org/10.1142/7612
  9. Палис Ж., ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. Введение. Москва : Мир, 1986. 301 с.
  10. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : в 3 т. Москва : Физматгиз, 1962. Т. 1. 607 с.
  11. Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2. Москва ; Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. 548 с.
Поступила в редакцию: 
25.08.2021
Принята к публикации: 
09.02.2022
Опубликована: 
31.05.2022