Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Комаров М. А. О скорости интерполяции наипростейшими дробями аналитических функций с регулярно убывающими коэффициентами // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, вып. 2. С. 157-168. DOI: 10.18500/1816-9791-2023-23-2-157-168, EDN: QSUBAS

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
31.05.2023
Полный текст:
(downloads: 760)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.538.5
EDN: 
QSUBAS

О скорости интерполяции наипростейшими дробями аналитических функций с регулярно убывающими коэффициентами

Авторы: 
Комаров Михаил Анатольевич, Владимирский государственный университет имени А. Г. и Н. Г. Столетовых
Аннотация: 

Рассматриваются задачи кратной интерполяции по узлу $z=0$ аналитических в единичном круге функций $f(z)=f_0+f_1z+\dots$ посредством наипростейших рациональных дробей (логарифмических производных алгебраических многочленов) со свободными полюсами и с полюсами, лежащими на окружности $|z|=1$. Получены оценки остатков интерполяции при условии вида $|f_{m-1}|<C/\sqrt{m}$, $m=1,2,\dots$. Точнее, мы предполагаем, что модули коэффициентов Маклорена $f_m$ функции $f$ не превосходят соответствующих коэффициентов $\alpha_m$ в разложении $a/\sqrt{1-x}$ ($-1<x<1$, $0<a\le a^*\approx 0.34$) по степеням $x$. Для доказательства оценок используются конструкции наипростейших дробей Паде со свободными полюсами, разработанные В. И. и Д. Я. Данченко (2001), О. Н. Косухиным (2005), В. И. Данченко и П. В. Чунаевым (2011), и развитая автором статьи (2020) конструкция интерполирующих наипростейших дробей с полюсами на окружности. Наши теоремы дополняют и усиливают ряд результатов перечисленных работ. Используя свойства последовательности $\{\alpha_m\}$, удается доказать, в частности, что при ограничении $|f_m|\le \alpha_m$ все полюсы  наипростейшей дроби Паде функции $f$ расположены во внешности единичной окружности.

Список источников: 
  1. Данченко В. И., Данченко Д. Я. О приближении наипростейшими дробями // Математические заметки. 2001. Т. 70, вып. 4. С. 553–559. https://doi.org/10.4213/mzm767
  2. Данченко В. И., Комаров М. А., Чунаев П. В. Экстремальные и аппроксимативные свойства наипростейших дробей // Известия вузов. Математика. 2018. № 12. С. 9–49.
  3. Косухин О. Н. О некоторых нетрадиционных методах приближения, связанных с комплексными полиномами : дис. . . . канд. физ.-мат. наук. Москва, 2005. 80 с.
  4. Кондакова Е. Н. Интерполяция наипростейшими дробями // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9, вып. 2. С. 30–37. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2009-9-2-30-37
  5. Комаров М. А. Критерий наилучшего равномерного приближения наипростейшими дробями в терминах альтернанса // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2015. Т. 79, вып. 3. С. 3–22. https://doi.org/10.4213/im8266
  6. Danchenko V. I., Chunaev P. V. Approximation by simple partial fractions and their generalizations // Journal of Mathematical Sciences. 2011. Vol. 176, iss. 6. P. 844–859. https://dx.doi.org/10.1007/s10958-011-0440-5
  7. Чунаев П. В. Об одном нетрадиционном методе аппроксимации // Труды Математического института имени В. А. Стеклова. 2010. Т. 270. С. 281–287. EDN: MVSMGZ
  8. Chunaev P. V. Interpolation by generalized exponential sums with equal weights // Journal of Approximation Theory. 2020. Vol. 254. Art. 105397. https://doi.org/10.1016/j.jat.2020.105397
  9. Бородин П. А. Приближение наипростейшими дробями с ограничением на полюсы. II // Математический сборник. 2016. Т. 207, вып. 3. С. 19–30. https://doi.org/10.4213/sm8500
  10. Комаров М. А. О скорости аппроксимации в единичном круге функций класса H1логарифмическими производными полиномов с корнями на границе круга // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2020. Т. 84, вып. 3. С. 3–14. https://doi.org/10.4213/im8901
  11. Duren P. L. Theory of Hp spaces. New York ; London : Academic Press, 1970. 258 p.
  12. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды : в 3 т. Т. 1 : Элементарные функции. Москва : Наука, 1981. 800 с.
  13. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции : в 3 т. Т. 3 : Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. Москва : Наука, 1967. 300 с.
Поступила в редакцию: 
23.03.2022
Принята к публикации: 
16.11.2022
Опубликована: 
31.05.2023