Образец для цитирования:

Юрко В. А. О восстановлении дифференциальных пучков на графе-кусте // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 1. С. 51-61. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2017-17-1-51-61


Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
УДК: 
517.984

О восстановлении дифференциальных пучков на графе-кусте

Аннотация: 

Исследуется обратная задача спектрального анализа для дифференциальных пучков второго порядка на графе-кусте, который является произвольным компактным графом с одним циклом. Основное внимание уделяется наиболее важной нелинейной обратной задаче восстановления коэффициентов дифференциальных уравнений при условии, что структура графа известна априори. Используются стандартные условия склейки во внутренних вершинах и краевые условия Дирихле и Неймана в граничных вершинах. Для данного класса пучков установлены свойства спектральных характеристик, получена конструктивная процедура решения обратной задачи восстановления коэффициентов дифференциальных операторов по спектрам и доказана единственность решения. Для решения этой обратной задачи используется метод спектральных отображений, который позволяет строить потенциал на каждом фиксированном ребре. Для перехода к следующему ребру используется специальное представление характеристических функций.

Библиографический список

1. Yurko V. A. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory. Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht : VSP, 2002. 316 p.

2. Marchenko V. A. Sturm – Liouville Operators and Applications. Basel ; Switzerland : Birkhauser Verlag, 1986. 393 p. 

3. Levitan B. M. Inverse Sturm – Liouville problems. Utrecht : VNU Science Press, 1987. 246 p.

4. Freiling G., Yurko V. A. Inverse Sturm – Liouville Problems and their Applications. N. Y. : Nova Science Publ., 2001. 305 p.

5. Beals R., Deift P., Tomei C. Direct and Inverse Scattering on the Line // Math. Surveys and Monographs. Vol. 28. Providence, RI : Amer. Math. Soc., 1988. 209 p.

6. Belishev M. I. Boundary spectral Inverse Problem on a class of graphs (trees) by the BC method // Inverse Problems. 2004. Vol. 20, № 3. P. 647–672.

7. Yurko V. A. Inverse spectral problems for Sturm – Liouville operators on graphs // Inverse Problems. 2005. Vol. 21, № 3. P. 1075–1086.

8. Brown B. M., Weikard R. A Borg – Levinson theorem for trees // Proc. Royal Soc. Ser. A : Math. Phys. Eng. Sci. 2005. Vol. 461, № 2062. P. 3231–3243. DOI: doi.org/10.1098/rspa.2005.1513

9. Yang C.-Fu, Yang X.-P. Uniqueness theorems from partial information of the potential on a graph // J. Inverse and Ill-Posed Problems. 2011. Vol. 19, № 4–5. P. 631–639. DOI: doi.org/10.1515/jiip.2011.059.

10. Bondarenko N. P. Inverse problems for the differential operator on the graph with a cycle with different orders on different edges // Tamkang J. Math. 2015. Vol. 46, № 3. P. 229– 243. DOI: doi.org/10.5556/j.tkjm.46.2015.1694.

11. Ignatyev M. Yu., Freiling G. Spectral analysis for the Sturm – Liouville operator on sun-type graphs // Inverse Problems. 2011. Vol. 27, № 9, 095003. 17 p.

12. Ignatyev M. Yu. Inverse scattering problem for Sturm – Liouville operator on one-vertex noncompact graph with a cycle // Tamkang J. Math. 2011. Vol. 42, № 3. P. 365–384. DOI: doi.org/10.5556/j.tkjm.42.2011.913.

13. Buterin S. A., Freiling G. Inverse spectral-scattering problem for the Sturm – Liouville operator on a noncompact star-type graph // Tamkang J. Math. 2013. Vol. 44, № 3. P. 327–349. DOI: doi.org/10.5556/j.tkjm.44.2013.1422.

14. Yurko V. A. Inverse problems for non-selfadjoint quasi-periodic differential pencils // Anal. Math. Phys. 2012. Vol. 2, № 3. P. 215–230. DOI: doi.org/10.1007/s13324-012-0030-9.

15. Марченко В. А., Островский И. В. Характеристика спектра оператора Хилла // Матем. сб. 1975. Т. 97(139), № 4(8). С. 540–606. 

Полный текст в формате PDF: